Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75044 / 55588
↖ ↑ ↗
← N 26.342653°
E 26.114502°		 ← 273.71 m → N 26.342653°
E 26.117249°		 →
↑
273.70 m
↓
↑
273.70 m
↓
N 26.340192°
E 26.114502°		 ← 273.72 m →
74 915 m²		 N 26.340192°
E 26.117249°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55588 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572544097900391 y=0.424106597900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572544097900391 × 217)
    floor (0.572544097900391 × 131072)
    floor (75044.5)     		tx = 75044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424106597900391 × 217)
    floor (0.424106597900391 × 131072)
    floor (55588.5)     		ty = 55588
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75044 / 55588 ti = "17/75044/55588"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75044/55588.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75044 ÷ 217
    75044 ÷ 131072     		x = 0.572540283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55588 ÷ 217
    55588 ÷ 131072     		y = 0.424102783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572540283203125 × 2 - 1) × π
    0.14508056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.45578404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424102783203125 × 2 - 1) × π
    0.15179443359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.476876277420319
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45578404} λ = 0.45578404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.476876277420319))-π/2
    2×atan(1.61103411042736)-π/2
    2×1.01528117600805-π/2
    2.03056235201611-1.57079632675     		φ = 0.45976603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45578404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.114502°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45976603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.342653°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75044 KachelY 55588 0.45578404 0.45976603 26.114502 26.342653
    Oben rechts KachelX + 1 75045 KachelY 55588 0.45583198 0.45976603 26.117249 26.342653
    Unten links KachelX 75044 KachelY + 1 55589 0.45578404 0.45972307 26.114502 26.340192
    Unten rechts KachelX + 1 75045 KachelY + 1 55589 0.45583198 0.45972307 26.117249 26.340192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45976603-0.45972307) × R
    4.29599999999808e-05 × 6371000     		dl = 273.698159999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45976603-0.45972307) × R
    4.29599999999808e-05 × 6371000     		dr = 273.698159999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45578404-0.45583198) × cos(0.45976603) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.896156343537329 × 6371000     		do = 273.70921438072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45578404-0.45583198) × cos(0.45972307) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.896175405713982 × 6371000     		du = 273.715036460131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45976603)-sin(0.45972307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896156343537329-0.896175405713982)×R²
    abs(0.45583198-0.45578404)×1.90621766532617e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.90621766532617e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.90621766532617e-05×40589641000000     		ar = 74914.505108745m²