Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75043 / 55606
↖ ↑ ↗
← N 26.298340°
E 26.111755°		 ← 273.81 m → N 26.298340°
E 26.114502°		 →
↑
273.83 m
↓
↑
273.83 m
↓
N 26.295877°
E 26.111755°		 ← 273.82 m →
74 978 m²		 N 26.295877°
E 26.114502°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572536468505859 y=0.424243927001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572536468505859 × 217)
    floor (0.572536468505859 × 131072)
    floor (75043.5)     		tx = 75043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424243927001953 × 217)
    floor (0.424243927001953 × 131072)
    floor (55606.5)     		ty = 55606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75043 / 55606 ti = "17/75043/55606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75043/55606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75043 ÷ 217
    75043 ÷ 131072     		x = 0.572532653808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55606 ÷ 217
    55606 ÷ 131072     		y = 0.424240112304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572532653808594 × 2 - 1) × π
    0.145065307617188 × 3.1415926535     		Λ = 0.45573610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424240112304688 × 2 - 1) × π
    0.151519775390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.476013413227158
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45573610} λ = 0.45573610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.476013413227158))-π/2
    2×atan(1.60964460634239)-π/2
    2×1.01489447140836-π/2
    2.02978894281671-1.57079632675     		φ = 0.45899262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45573610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.111755°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45899262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.298340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75043 KachelY 55606 0.45573610 0.45899262 26.111755 26.298340
    Oben rechts KachelX + 1 75044 KachelY 55606 0.45578404 0.45899262 26.114502 26.298340
    Unten links KachelX 75043 KachelY + 1 55607 0.45573610 0.45894964 26.111755 26.295877
    Unten rechts KachelX + 1 75044 KachelY + 1 55607 0.45578404 0.45894964 26.114502 26.295877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45899262-0.45894964) × R
    4.29800000000258e-05 × 6371000     		dl = 273.825580000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45899262-0.45894964) × R
    4.29800000000258e-05 × 6371000     		dr = 273.825580000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45573610-0.45578404) × cos(0.45899262) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.896499267230399 × 6371000     		do = 273.81395210344m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45573610-0.45578404) × cos(0.45894964) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.896518308485755 × 6371000     		du = 273.819767792948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45899262)-sin(0.45894964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896499267230399-0.896518308485755)×R²
    abs(0.45578404-0.45573610)×1.90412553561226e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.90412553561226e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.90412553561226e-05×40589641000000     		ar = 74978.0605006647m²