Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75042 / 55582
↖ ↑ ↗
← N 26.357420°
E 26.109009°		 ← 273.62 m → N 26.357420°
E 26.111755°		 →
↑
273.63 m
↓
↑
273.63 m
↓
N 26.354959°
E 26.109009°		 ← 273.62 m →
74 872 m²		 N 26.354959°
E 26.111755°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572528839111328 y=0.424060821533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572528839111328 × 217)
    floor (0.572528839111328 × 131072)
    floor (75042.5)     		tx = 75042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424060821533203 × 217)
    floor (0.424060821533203 × 131072)
    floor (55582.5)     		ty = 55582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75042 / 55582 ti = "17/75042/55582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75042/55582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75042 ÷ 217
    75042 ÷ 131072     		x = 0.572525024414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55582 ÷ 217
    55582 ÷ 131072     		y = 0.424057006835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572525024414062 × 2 - 1) × π
    0.145050048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45568817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424057006835938 × 2 - 1) × π
    0.151885986328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.477163898818039
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45568817} λ = 0.45568817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.477163898818039))-π/2
    2×atan(1.61149754495363)-π/2
    2×1.01541004465314-π/2
    2.03082008930628-1.57079632675     		φ = 0.46002376
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45568817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.109009°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46002376 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.357420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75042 KachelY 55582 0.45568817 0.46002376 26.109009 26.357420
    Oben rechts KachelX + 1 75043 KachelY 55582 0.45573610 0.46002376 26.111755 26.357420
    Unten links KachelX 75042 KachelY + 1 55583 0.45568817 0.45998081 26.109009 26.354959
    Unten rechts KachelX + 1 75043 KachelY + 1 55583 0.45573610 0.45998081 26.111755 26.354959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46002376-0.45998081) × R
    4.29499999999861e-05 × 6371000     		dl = 273.634449999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46002376-0.45998081) × R
    4.29499999999861e-05 × 6371000     		dr = 273.634449999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45568817-0.45573610) × cos(0.46002376) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.896041949065577 × 6371000     		do = 273.617188531672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45568817-0.45573610) × cos(0.45998081) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.896061016724709 × 6371000     		du = 273.623011070772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46002376)-sin(0.45998081))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896041949065577-0.896061016724709)×R²
    abs(0.45573610-0.45568817)×1.90676591318439e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.90676591318439e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.90676591318439e-05×40589641000000     		ar = 74871.8855295887m²