Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75040 / 55584
↖ ↑ ↗
← N 26.352498°
E 26.103515°		 ← 273.69 m → N 26.352498°
E 26.106262°		 →
↑
273.63 m
↓
↑
273.63 m
↓
N 26.350037°
E 26.103515°		 ← 273.69 m →
74 891 m²		 N 26.350037°
E 26.106262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572513580322266 y=0.424076080322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572513580322266 × 217)
    floor (0.572513580322266 × 131072)
    floor (75040.5)     		tx = 75040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424076080322266 × 217)
    floor (0.424076080322266 × 131072)
    floor (55584.5)     		ty = 55584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75040 / 55584 ti = "17/75040/55584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75040/55584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75040 ÷ 217
    75040 ÷ 131072     		x = 0.572509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55584 ÷ 217
    55584 ÷ 131072     		y = 0.424072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572509765625 × 2 - 1) × π
    0.14501953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45559229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424072265625 × 2 - 1) × π
    0.15185546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.477068025018799
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45559229} λ = 0.45559229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.477068025018799))-π/2
    2×atan(1.61134305196756)-π/2
    2×1.01536709026611-π/2
    2.03073418053222-1.57079632675     		φ = 0.45993785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45559229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.103515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45993785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.352498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75040 KachelY 55584 0.45559229 0.45993785 26.103515 26.352498
    Oben rechts KachelX + 1 75041 KachelY 55584 0.45564023 0.45993785 26.106262 26.352498
    Unten links KachelX 75040 KachelY + 1 55585 0.45559229 0.45989490 26.103515 26.350037
    Unten rechts KachelX + 1 75041 KachelY + 1 55585 0.45564023 0.45989490 26.106262 26.350037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45993785-0.45989490) × R
    4.29499999999861e-05 × 6371000     		dl = 273.634449999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45993785-0.45989490) × R
    4.29499999999861e-05 × 6371000     		dr = 273.634449999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45559229-0.45564023) × cos(0.45993785) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.896080087169799 × 6371000     		do = 273.685923722921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45559229-0.45564023) × cos(0.45989490) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.896099151522579 × 6371000     		du = 273.691746466976m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45993785)-sin(0.45989490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896080087169799-0.896099151522579)×R²
    abs(0.45564023-0.45559229)×1.90643527798739e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.90643527798739e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.90643527798739e-05×40589641000000     		ar = 74890.6938738322m²