Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75040 / 55072
↖ ↑ ↗
← N 27.605671°
E 26.103515°		 ← 270.66 m → N 27.605671°
E 26.106262°		 →
↑
270.64 m
↓
↑
270.64 m
↓
N 27.603237°
E 26.103515°		 ← 270.66 m →
73 251 m²		 N 27.603237°
E 26.106262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55072 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572513580322266 y=0.420169830322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572513580322266 × 217)
    floor (0.572513580322266 × 131072)
    floor (75040.5)     		tx = 75040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420169830322266 × 217)
    floor (0.420169830322266 × 131072)
    floor (55072.5)     		ty = 55072
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75040 / 55072 ti = "17/75040/55072"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75040/55072.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75040 ÷ 217
    75040 ÷ 131072     		x = 0.572509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55072 ÷ 217
    55072 ÷ 131072     		y = 0.420166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572509765625 × 2 - 1) × π
    0.14501953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45559229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420166015625 × 2 - 1) × π
    0.15966796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.501611717624268
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45559229} λ = 0.45559229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.501611717624268))-π/2
    2×atan(1.65138068636749)-π/2
    2×1.02630308746288-π/2
    2.05260617492576-1.57079632675     		φ = 0.48180985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45559229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.103515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48180985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.605671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75040 KachelY 55072 0.45559229 0.48180985 26.103515 27.605671
    Oben rechts KachelX + 1 75041 KachelY 55072 0.45564023 0.48180985 26.106262 27.605671
    Unten links KachelX 75040 KachelY + 1 55073 0.45559229 0.48176737 26.103515 27.603237
    Unten rechts KachelX + 1 75041 KachelY + 1 55073 0.45564023 0.48176737 26.106262 27.603237
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48180985-0.48176737) × R
    4.24800000000114e-05 × 6371000     		dl = 270.640080000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48180985-0.48176737) × R
    4.24800000000114e-05 × 6371000     		dr = 270.640080000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45559229-0.45564023) × cos(0.48180985) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.886157719493861 × 6371000     		do = 270.655377232948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45559229-0.45564023) × cos(0.48176737) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.886177403235833 × 6371000     		du = 270.661389154405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48180985)-sin(0.48176737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886157719493861-0.886177403235833)×R²
    abs(0.45564023-0.45559229)×1.96837419718099e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.96837419718099e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.96837419718099e-05×40589641000000     		ar = 73251.0064912616m²