Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7504 / 10480
↖ ↑ ↗
← S 44.840291°
W 15.117188°		 ← 1 732.47 m → S 44.840291°
W 15.095215°		 →
↑
1 732.21 m
↓
↑
1 732.21 m
↓
S 44.855869°
W 15.117188°		 ← 1 732 m →
3 000 594 m²		 S 44.855869°
W 15.095215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458038330078125 y=0.639678955078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458038330078125 × 214)
    floor (0.458038330078125 × 16384)
    floor (7504.5)     		tx = 7504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639678955078125 × 214)
    floor (0.639678955078125 × 16384)
    floor (10480.5)     		ty = 10480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7504 / 10480 ti = "14/7504/10480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7504/10480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7504 ÷ 214
    7504 ÷ 16384     		x = 0.4580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10480 ÷ 214
    10480 ÷ 16384     		y = 0.6396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4580078125 × 2 - 1) × π
    -0.083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26384470
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6396484375 × 2 - 1) × π
    -0.279296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.877437010645508
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26384470} λ = -0.26384470}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.877437010645508))-π/2
    2×atan(0.415847359370005)-π/2
    2×0.394092808697276-π/2
    0.788185617394552-1.57079632675     		φ = -0.78261071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26384470} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.117188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78261071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.840291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7504 KachelY 10480 -0.26384470 -0.78261071 -15.117188 -44.840291
    Oben rechts KachelX + 1 7505 KachelY 10480 -0.26346120 -0.78261071 -15.095215 -44.840291
    Unten links KachelX 7504 KachelY + 1 10481 -0.26384470 -0.78288260 -15.117188 -44.855869
    Unten rechts KachelX + 1 7505 KachelY + 1 10481 -0.26346120 -0.78288260 -15.095215 -44.855869
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78261071--0.78288260) × R
    0.000271889999999941 × 6371000     		dl = 1732.21118999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78261071--0.78288260) × R
    0.000271889999999941 × 6371000     		dr = 1732.21118999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26384470--0.26346120) × cos(-0.78261071) × R
    0.000383499999999981 × 0.709075058762226 × 6371000     		do = 1732.4678459599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26384470--0.26346120) × cos(-0.78288260) × R
    0.000383499999999981 × 0.708883313941751 × 6371000     		du = 1731.99935996254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78261071)-sin(-0.78288260))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709075058762226-0.708883313941751)×R²
    abs(-0.26346120--0.26384470)×0.000191744820475237×R²
    0.000383499999999981×0.000191744820475237×6371000²
    0.000383499999999981×0.000191744820475237×40589641000000     		ar = 3000594.4492284m²