Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75038 / 55438
↖ ↑ ↗
← N 26.711267°
E 26.098022°		 ← 272.83 m → N 26.711267°
E 26.100769°		 →
↑
272.87 m
↓
↑
272.87 m
↓
N 26.708813°
E 26.098022°		 ← 272.84 m →
74 448 m²		 N 26.708813°
E 26.100769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572498321533203 y=0.422962188720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572498321533203 × 217)
    floor (0.572498321533203 × 131072)
    floor (75038.5)     		tx = 75038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422962188720703 × 217)
    floor (0.422962188720703 × 131072)
    floor (55438.5)     		ty = 55438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75038 / 55438 ti = "17/75038/55438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75038/55438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75038 ÷ 217
    75038 ÷ 131072     		x = 0.572494506835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55438 ÷ 217
    55438 ÷ 131072     		y = 0.422958374023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572494506835938 × 2 - 1) × π
    0.144989013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45549642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422958374023438 × 2 - 1) × π
    0.154083251953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.484066812363327
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45549642} λ = 0.45549642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.484066812363327))-π/2
    2×atan(1.62266005578386)-π/2
    2×1.01849794090121-π/2
    2.03699588180241-1.57079632675     		φ = 0.46619956
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45549642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.098022°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46619956 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.711267°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75038 KachelY 55438 0.45549642 0.46619956 26.098022 26.711267
    Oben rechts KachelX + 1 75039 KachelY 55438 0.45554436 0.46619956 26.100769 26.711267
    Unten links KachelX 75038 KachelY + 1 55439 0.45549642 0.46615673 26.098022 26.708813
    Unten rechts KachelX + 1 75039 KachelY + 1 55439 0.45554436 0.46615673 26.100769 26.708813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46619956-0.46615673) × R
    4.28299999999937e-05 × 6371000     		dl = 272.86992999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46619956-0.46615673) × R
    4.28299999999937e-05 × 6371000     		dr = 272.86992999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45549642-0.45554436) × cos(0.46619956) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.893283012600423 × 6371000     		do = 272.831625152735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45549642-0.45554436) × cos(0.46615673) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.89330226363786 × 6371000     		du = 272.83750491509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46619956)-sin(0.46615673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.893283012600423-0.89330226363786)×R²
    abs(0.45554436-0.45549642)×1.92510374367183e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.92510374367183e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.92510374367183e-05×40589641000000     		ar = 74448.3486737357m²