Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75037 / 55437
↖ ↑ ↗
← N 26.713721°
E 26.095276°		 ← 272.83 m → N 26.713721°
E 26.098022°		 →
↑
272.81 m
↓
↑
272.81 m
↓
N 26.711267°
E 26.095276°		 ← 272.83 m →
74 429 m²		 N 26.711267°
E 26.098022°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75037 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55437 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572490692138672 y=0.422954559326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572490692138672 × 217)
    floor (0.572490692138672 × 131072)
    floor (75037.5)     		tx = 75037
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422954559326172 × 217)
    floor (0.422954559326172 × 131072)
    floor (55437.5)     		ty = 55437
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75037 / 55437 ti = "17/75037/55437"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75037/55437.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75037 ÷ 217
    75037 ÷ 131072     		x = 0.572486877441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55437 ÷ 217
    55437 ÷ 131072     		y = 0.422950744628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572486877441406 × 2 - 1) × π
    0.144973754882812 × 3.1415926535     		Λ = 0.45544848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422950744628906 × 2 - 1) × π
    0.154098510742188 × 3.1415926535     		Φ = 0.484114749262947
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45544848} λ = 0.45544848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.484114749262947))-π/2
    2×atan(1.62273784294049)-π/2
    2×1.01851935127964-π/2
    2.03703870255927-1.57079632675     		φ = 0.46624238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45544848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.095276°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46624238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.713721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75037 KachelY 55437 0.45544848 0.46624238 26.095276 26.713721
    Oben rechts KachelX + 1 75038 KachelY 55437 0.45549642 0.46624238 26.098022 26.713721
    Unten links KachelX 75037 KachelY + 1 55438 0.45544848 0.46619956 26.095276 26.711267
    Unten rechts KachelX + 1 75038 KachelY + 1 55438 0.45549642 0.46619956 26.098022 26.711267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46624238-0.46619956) × R
    4.2819999999999e-05 × 6371000     		dl = 272.806219999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46624238-0.46619956) × R
    4.2819999999999e-05 × 6371000     		dr = 272.806219999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45544848-0.45549642) × cos(0.46624238) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.89326376441967 × 6371000     		do = 272.8257462632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45544848-0.45549642) × cos(0.46619956) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.893283012600423 × 6371000     		du = 272.831625153051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46624238)-sin(0.46619956))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89326376441967-0.893283012600423)×R²
    abs(0.45549642-0.45544848)×1.9248180753717e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.9248180753717e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.9248180753717e-05×40589641000000     		ar = 74429.3624670211m²