Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75034 / 55594
↖ ↑ ↗
← N 26.327884°
E 26.087036°		 ← 273.74 m → N 26.327884°
E 26.089783°		 →
↑
273.76 m
↓
↑
273.76 m
↓
N 26.325422°
E 26.087036°		 ← 273.75 m →
74 942 m²		 N 26.325422°
E 26.089783°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75034 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55594 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572467803955078 y=0.424152374267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572467803955078 × 217)
    floor (0.572467803955078 × 131072)
    floor (75034.5)     		tx = 75034
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424152374267578 × 217)
    floor (0.424152374267578 × 131072)
    floor (55594.5)     		ty = 55594
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75034 / 55594 ti = "17/75034/55594"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75034/55594.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75034 ÷ 217
    75034 ÷ 131072     		x = 0.572463989257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55594 ÷ 217
    55594 ÷ 131072     		y = 0.424148559570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572463989257812 × 2 - 1) × π
    0.144927978515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.45530467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424148559570312 × 2 - 1) × π
    0.151702880859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.476588656022598
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45530467} λ = 0.45530467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.476588656022598))-π/2
    2×atan(1.61057080917562)-π/2
    2×1.01515229091458-π/2
    2.03030458182916-1.57079632675     		φ = 0.45950826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45530467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.087036°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45950826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.327884°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75034 KachelY 55594 0.45530467 0.45950826 26.087036 26.327884
    Oben rechts KachelX + 1 75035 KachelY 55594 0.45535261 0.45950826 26.089783 26.327884
    Unten links KachelX 75034 KachelY + 1 55595 0.45530467 0.45946529 26.087036 26.325422
    Unten rechts KachelX + 1 75035 KachelY + 1 55595 0.45535261 0.45946529 26.089783 26.325422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45950826-0.45946529) × R
    4.29699999999755e-05 × 6371000     		dl = 273.761869999844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45950826-0.45946529) × R
    4.29699999999755e-05 × 6371000     		dr = 273.761869999844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45530467-0.45535261) × cos(0.45950826) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.896270696222415 × 6371000     		do = 273.744140633867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45530467-0.45535261) × cos(0.45946529) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.896289752909164 × 6371000     		du = 273.749961036519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45950826)-sin(0.45946529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896270696222415-0.896289752909164)×R²
    abs(0.45535261-0.45530467)×1.90566867482866e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.90566867482866e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.90566867482866e-05×40589641000000     		ar = 74941.5045551757m²