Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75032 / 55560
↖ ↑ ↗
← N 26.411551°
E 26.081543°		 ← 273.55 m → N 26.411551°
E 26.084290°		 →
↑
273.57 m
↓
↑
273.57 m
↓
N 26.409090°
E 26.081543°		 ← 273.55 m →
74 835 m²		 N 26.409090°
E 26.084290°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572452545166016 y=0.423892974853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572452545166016 × 217)
    floor (0.572452545166016 × 131072)
    floor (75032.5)     		tx = 75032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423892974853516 × 217)
    floor (0.423892974853516 × 131072)
    floor (55560.5)     		ty = 55560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75032 / 55560 ti = "17/75032/55560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75032/55560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75032 ÷ 217
    75032 ÷ 131072     		x = 0.57244873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55560 ÷ 217
    55560 ÷ 131072     		y = 0.42388916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57244873046875 × 2 - 1) × π
    0.1448974609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.45520880
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42388916015625 × 2 - 1) × π
    0.1522216796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.47821851060968
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45520880} λ = 0.45520880}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.47821851060968))-π/2
    2×atan(1.6131979457405)-π/2
    2×1.01588242218906-π/2
    2.03176484437813-1.57079632675     		φ = 0.46096852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45520880} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.081543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46096852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.411551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75032 KachelY 55560 0.45520880 0.46096852 26.081543 26.411551
    Oben rechts KachelX + 1 75033 KachelY 55560 0.45525674 0.46096852 26.084290 26.411551
    Unten links KachelX 75032 KachelY + 1 55561 0.45520880 0.46092558 26.081543 26.409090
    Unten rechts KachelX + 1 75033 KachelY + 1 55561 0.45525674 0.46092558 26.084290 26.409090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46096852-0.46092558) × R
    4.29399999999913e-05 × 6371000     		dl = 273.570739999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46096852-0.46092558) × R
    4.29399999999913e-05 × 6371000     		dr = 273.570739999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45520880-0.45525674) × cos(0.46096852) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.895622104709715 × 6371000     		do = 273.546044091143m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45520880-0.45525674) × cos(0.46092558) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.895641204272036 × 6371000     		du = 273.551877589099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46096852)-sin(0.46092558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895622104709715-0.895641204272036)×R²
    abs(0.45525674-0.45520880)×1.90995623211565e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.90995623211565e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.90995623211565e-05×40589641000000     		ar = 74834.9916548395m²