Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7503 / 7895
↖ ↑ ↗
← N 79.473596°
W138.784790°		 ← 111.60 m → N 79.473596°
W138.779297°		 →
↑
111.62 m
↓
↑
111.62 m
↓
N 79.472592°
W138.784790°		 ← 111.61 m →
12 457 m²		 N 79.472592°
W138.779297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7503 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7895 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.114494323730469 y=0.120475769042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.114494323730469 × 216)
    floor (0.114494323730469 × 65536)
    floor (7503.5)     		tx = 7503
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120475769042969 × 216)
    floor (0.120475769042969 × 65536)
    floor (7895.5)     		ty = 7895
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7503 / 7895 ti = "16/7503/7895"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7503/7895.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7503 ÷ 216
    7503 ÷ 65536     		x = 0.114486694335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7895 ÷ 216
    7895 ÷ 65536     		y = 0.120468139648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.114486694335938 × 2 - 1) × π
    -0.771026611328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.42225154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120468139648438 × 2 - 1) × π
    0.759063720703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.38466900849931
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42225154} λ = -2.42225154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38466900849931))-π/2
    2×atan(10.8554690022417)-π/2
    2×1.47893611788113-π/2
    2.95787223576225-1.57079632675     		φ = 1.38707591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42225154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -138.784790°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38707591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.473596°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7503 KachelY 7895 -2.42225154 1.38707591 -138.784790 79.473596
    Oben rechts KachelX + 1 7504 KachelY 7895 -2.42215566 1.38707591 -138.779297 79.473596
    Unten links KachelX 7503 KachelY + 1 7896 -2.42225154 1.38705839 -138.784790 79.472592
    Unten rechts KachelX + 1 7504 KachelY + 1 7896 -2.42215566 1.38705839 -138.779297 79.472592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38707591-1.38705839) × R
    1.75200000001041e-05 × 6371000     		dl = 111.619920000663m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38707591-1.38705839) × R
    1.75200000001041e-05 × 6371000     		dr = 111.619920000663m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42225154--2.42215566) × cos(1.38707591) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.182688634562412 × 6371000     		do = 111.595622801556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42225154--2.42215566) × cos(1.38705839) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.182705859687153 × 6371000     		du = 111.606144794497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38707591)-sin(1.38705839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182688634562412-0.182705859687153)×R²
    abs(-2.42215566--2.42225154)×1.72251247408384e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.72251247408384e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.72251247408384e-05×40589641000000     		ar = 12456.8817215901m²