Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7503 / 5213
↖ ↑ ↗
← N 54.610255°
W 15.139160°		 ← 1 414.95 m → N 54.610255°
W 15.117188°		 →
↑
1 415.19 m
↓
↑
1 415.19 m
↓
N 54.597528°
W 15.139160°		 ← 1 415.39 m →
2 002 739 m²		 N 54.597528°
W 15.117188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7503 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457977294921875 y=0.318206787109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457977294921875 × 214)
    floor (0.457977294921875 × 16384)
    floor (7503.5)     		tx = 7503
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318206787109375 × 214)
    floor (0.318206787109375 × 16384)
    floor (5213.5)     		ty = 5213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7503 / 5213 ti = "14/7503/5213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7503/5213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7503 ÷ 214
    7503 ÷ 16384     		x = 0.45794677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5213 ÷ 214
    5213 ÷ 16384     		y = 0.31817626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45794677734375 × 2 - 1) × π
    -0.0841064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26422819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31817626953125 × 2 - 1) × π
    0.3636474609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.14243219174518
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26422819} λ = -0.26422819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14243219174518))-π/2
    2×atan(3.13438252118323)-π/2
    2×1.26196254077909-π/2
    2.52392508155818-1.57079632675     		φ = 0.95312875
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26422819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.139160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95312875 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.610255°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7503 KachelY 5213 -0.26422819 0.95312875 -15.139160 54.610255
    Oben rechts KachelX + 1 7504 KachelY 5213 -0.26384470 0.95312875 -15.117188 54.610255
    Unten links KachelX 7503 KachelY + 1 5214 -0.26422819 0.95290662 -15.139160 54.597528
    Unten rechts KachelX + 1 7504 KachelY + 1 5214 -0.26384470 0.95290662 -15.117188 54.597528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95312875-0.95290662) × R
    0.000222129999999932 × 6371000     		dl = 1415.19022999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95312875-0.95290662) × R
    0.000222129999999932 × 6371000     		dr = 1415.19022999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26422819--0.26384470) × cos(0.95312875) × R
    0.000383489999999986 × 0.579135272787602 × 6371000     		do = 1414.9518638853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26422819--0.26384470) × cos(0.95290662) × R
    0.000383489999999986 × 0.579316345862885 × 6371000     		du = 1415.39426430091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95312875)-sin(0.95290662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579135272787602-0.579316345862885)×R²
    abs(-0.26384470--0.26422819)×0.000181073075282812×R²
    0.000383489999999986×0.000181073075282812×6371000²
    0.000383489999999986×0.000181073075282812×40589641000000     		ar = 2002739.10229806m²