Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7503 / 5209
↖ ↑ ↗
← N 54.661124°
W 15.139160°		 ← 1 413.18 m → N 54.661124°
W 15.117188°		 →
↑
1 413.41 m
↓
↑
1 413.41 m
↓
N 54.648413°
W 15.139160°		 ← 1 413.63 m →
1 997 714 m²		 N 54.648413°
W 15.117188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7503 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457977294921875 y=0.317962646484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457977294921875 × 214)
    floor (0.457977294921875 × 16384)
    floor (7503.5)     		tx = 7503
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317962646484375 × 214)
    floor (0.317962646484375 × 16384)
    floor (5209.5)     		ty = 5209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7503 / 5209 ti = "14/7503/5209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7503/5209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7503 ÷ 214
    7503 ÷ 16384     		x = 0.45794677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5209 ÷ 214
    5209 ÷ 16384     		y = 0.31793212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45794677734375 × 2 - 1) × π
    -0.0841064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26422819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31793212890625 × 2 - 1) × π
    0.3641357421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.14396617253302
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26422819} λ = -0.26422819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14396617253302))-π/2
    2×atan(3.13919429339199)-π/2
    2×1.26240645428301-π/2
    2.52481290856602-1.57079632675     		φ = 0.95401658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26422819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.139160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95401658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.661124°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7503 KachelY 5209 -0.26422819 0.95401658 -15.139160 54.661124
    Oben rechts KachelX + 1 7504 KachelY 5209 -0.26384470 0.95401658 -15.117188 54.661124
    Unten links KachelX 7503 KachelY + 1 5210 -0.26422819 0.95379473 -15.139160 54.648413
    Unten rechts KachelX + 1 7504 KachelY + 1 5210 -0.26384470 0.95379473 -15.117188 54.648413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95401658-0.95379473) × R
    0.000221849999999968 × 6371000     		dl = 1413.4063499998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95401658-0.95379473) × R
    0.000221849999999968 × 6371000     		dr = 1413.4063499998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26422819--0.26384470) × cos(0.95401658) × R
    0.000383489999999986 × 0.578411257684839 × 6371000     		do = 1413.18293947805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26422819--0.26384470) × cos(0.95379473) × R
    0.000383489999999986 × 0.578592216547265 × 6371000     		du = 1413.62506084711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95401658)-sin(0.95379473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578411257684839-0.578592216547265)×R²
    abs(-0.26384470--0.26422819)×0.000180958862425973×R²
    0.000383489999999986×0.000180958862425973×6371000²
    0.000383489999999986×0.000180958862425973×40589641000000     		ar = 1997714.19713745m²