Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75029 / 57127
↖ ↑ ↗
← N 22.494795°
E 26.073303°		 ← 282.13 m → N 22.494795°
E 26.076050°		 →
↑
282.17 m
↓
↑
282.17 m
↓
N 22.492257°
E 26.073303°		 ← 282.13 m →
79 609 m²		 N 22.492257°
E 26.076050°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75029 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572429656982422 y=0.435848236083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572429656982422 × 217)
    floor (0.572429656982422 × 131072)
    floor (75029.5)     		tx = 75029
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435848236083984 × 217)
    floor (0.435848236083984 × 131072)
    floor (57127.5)     		ty = 57127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75029 / 57127 ti = "17/75029/57127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75029/57127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75029 ÷ 217
    75029 ÷ 131072     		x = 0.572425842285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57127 ÷ 217
    57127 ÷ 131072     		y = 0.435844421386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572425842285156 × 2 - 1) × π
    0.144851684570312 × 3.1415926535     		Λ = 0.45506499
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435844421386719 × 2 - 1) × π
    0.128311157226562 × 3.1415926535     		Φ = 0.403101388905052
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45506499} λ = 0.45506499}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.403101388905052))-π/2
    2×atan(1.49645860827201)-π/2
    2×0.981702280736565-π/2
    1.96340456147313-1.57079632675     		φ = 0.39260823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45506499} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.073303°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39260823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.494795°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75029 KachelY 57127 0.45506499 0.39260823 26.073303 22.494795
    Oben rechts KachelX + 1 75030 KachelY 57127 0.45511292 0.39260823 26.076050 22.494795
    Unten links KachelX 75029 KachelY + 1 57128 0.45506499 0.39256394 26.073303 22.492257
    Unten rechts KachelX + 1 75030 KachelY + 1 57128 0.45511292 0.39256394 26.076050 22.492257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39260823-0.39256394) × R
    4.42900000000024e-05 × 6371000     		dl = 282.171590000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39260823-0.39256394) × R
    4.42900000000024e-05 × 6371000     		dr = 282.171590000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45506499-0.45511292) × cos(0.39260823) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.923914296138278 × 6371000     		do = 282.128345014652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45506499-0.45511292) × cos(0.39256394) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.923931240563718 × 6371000     		du = 282.133519198801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39260823)-sin(0.39256394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.923914296138278-0.923931240563718)×R²
    abs(0.45511292-0.45506499)×1.69444254403128e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.69444254403128e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.69444254403128e-05×40589641000000     		ar = 79609.3337137516m²