Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75029 / 54627
↖ ↑ ↗
← N 28.683359°
E 26.073303°		 ← 267.89 m → N 28.683359°
E 26.076050°		 →
↑
267.90 m
↓
↑
267.90 m
↓
N 28.680950°
E 26.073303°		 ← 267.90 m →
71 769 m²		 N 28.680950°
E 26.076050°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75029 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54627 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572429656982422 y=0.416774749755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572429656982422 × 217)
    floor (0.572429656982422 × 131072)
    floor (75029.5)     		tx = 75029
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416774749755859 × 217)
    floor (0.416774749755859 × 131072)
    floor (54627.5)     		ty = 54627
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75029 / 54627 ti = "17/75029/54627"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75029/54627.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75029 ÷ 217
    75029 ÷ 131072     		x = 0.572425842285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54627 ÷ 217
    54627 ÷ 131072     		y = 0.416770935058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572425842285156 × 2 - 1) × π
    0.144851684570312 × 3.1415926535     		Λ = 0.45506499
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416770935058594 × 2 - 1) × π
    0.166458129882812 × 3.1415926535     		Φ = 0.522943637955193
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45506499} λ = 0.45506499}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.522943637955193))-π/2
    2×atan(1.68698622467447)-π/2
    2×1.0357076934898-π/2
    2.0714153869796-1.57079632675     		φ = 0.50061906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45506499} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.073303°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50061906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.683359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75029 KachelY 54627 0.45506499 0.50061906 26.073303 28.683359
    Oben rechts KachelX + 1 75030 KachelY 54627 0.45511292 0.50061906 26.076050 28.683359
    Unten links KachelX 75029 KachelY + 1 54628 0.45506499 0.50057701 26.073303 28.680950
    Unten rechts KachelX + 1 75030 KachelY + 1 54628 0.45511292 0.50057701 26.076050 28.680950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50061906-0.50057701) × R
    4.20500000000157e-05 × 6371000     		dl = 267.9005500001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50061906-0.50057701) × R
    4.20500000000157e-05 × 6371000     		dr = 267.9005500001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45506499-0.45511292) × cos(0.50061906) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.877285600575106 × 6371000     		do = 267.889711881237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45506499-0.45511292) × cos(0.50057701) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.877305782484291 × 6371000     		du = 267.895874669995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50061906)-sin(0.50057701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877285600575106-0.877305782484291)×R²
    abs(0.45511292-0.45506499)×2.01819091854016e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.01819091854016e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.01819091854016e-05×40589641000000     		ar = 71768.6266701216m²