Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75026 / 55434
↖ ↑ ↗
← N 26.721080°
E 26.065064°		 ← 272.75 m → N 26.721080°
E 26.067810°		 →
↑
272.81 m
↓
↑
272.81 m
↓
N 26.718627°
E 26.065064°		 ← 272.76 m →
74 409 m²		 N 26.718627°
E 26.067810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75026 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572406768798828 y=0.422931671142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572406768798828 × 217)
    floor (0.572406768798828 × 131072)
    floor (75026.5)     		tx = 75026
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422931671142578 × 217)
    floor (0.422931671142578 × 131072)
    floor (55434.5)     		ty = 55434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75026 / 55434 ti = "17/75026/55434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75026/55434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75026 ÷ 217
    75026 ÷ 131072     		x = 0.572402954101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55434 ÷ 217
    55434 ÷ 131072     		y = 0.422927856445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572402954101562 × 2 - 1) × π
    0.144805908203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45492118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422927856445312 × 2 - 1) × π
    0.154144287109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.484258559961807
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45492118} λ = 0.45492118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.484258559961807))-π/2
    2×atan(1.62297122678489)-π/2
    2×1.01858357964658-π/2
    2.03716715929316-1.57079632675     		φ = 0.46637083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45492118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.065064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46637083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.721080°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75026 KachelY 55434 0.45492118 0.46637083 26.065064 26.721080
    Oben rechts KachelX + 1 75027 KachelY 55434 0.45496911 0.46637083 26.067810 26.721080
    Unten links KachelX 75026 KachelY + 1 55435 0.45492118 0.46632801 26.065064 26.718627
    Unten rechts KachelX + 1 75027 KachelY + 1 55435 0.45496911 0.46632801 26.067810 26.718627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46637083-0.46632801) × R
    4.2819999999999e-05 × 6371000     		dl = 272.806219999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46637083-0.46632801) × R
    4.2819999999999e-05 × 6371000     		dr = 272.806219999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45492118-0.45496911) × cos(0.46637083) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.893206014546951 × 6371000     		do = 272.751201810433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45492118-0.45496911) × cos(0.46632801) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.893225267640754 × 6371000     		du = 272.757080974241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46637083)-sin(0.46632801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.893206014546951-0.893225267640754)×R²
    abs(0.45496911-0.45492118)×1.92530938031288e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.92530938031288e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.92530938031288e-05×40589641000000     		ar = 74409.0263140427m²