Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75025 / 55570
↖ ↑ ↗
← N 26.386949°
E 26.062317°		 ← 273.60 m → N 26.386949°
E 26.065064°		 →
↑
273.57 m
↓
↑
273.57 m
↓
N 26.384489°
E 26.062317°		 ← 273.61 m →
74 851 m²		 N 26.384489°
E 26.065064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75025 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572399139404297 y=0.423969268798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572399139404297 × 217)
    floor (0.572399139404297 × 131072)
    floor (75025.5)     		tx = 75025
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423969268798828 × 217)
    floor (0.423969268798828 × 131072)
    floor (55570.5)     		ty = 55570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75025 / 55570 ti = "17/75025/55570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75025/55570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75025 ÷ 217
    75025 ÷ 131072     		x = 0.572395324707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55570 ÷ 217
    55570 ÷ 131072     		y = 0.423965454101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572395324707031 × 2 - 1) × π
    0.144790649414062 × 3.1415926535     		Λ = 0.45487324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423965454101562 × 2 - 1) × π
    0.152069091796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.47773914161348
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45487324} λ = 0.45487324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.47773914161348))-π/2
    2×atan(1.61242481398308)-π/2
    2×1.01566773257233-π/2
    2.03133546514467-1.57079632675     		φ = 0.46053914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45487324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.062317°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46053914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.386949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75025 KachelY 55570 0.45487324 0.46053914 26.062317 26.386949
    Oben rechts KachelX + 1 75026 KachelY 55570 0.45492118 0.46053914 26.065064 26.386949
    Unten links KachelX 75025 KachelY + 1 55571 0.45487324 0.46049620 26.062317 26.384489
    Unten rechts KachelX + 1 75026 KachelY + 1 55571 0.45492118 0.46049620 26.065064 26.384489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46053914-0.46049620) × R
    4.29399999999913e-05 × 6371000     		dl = 273.570739999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46053914-0.46049620) × R
    4.29399999999913e-05 × 6371000     		dr = 273.570739999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45487324-0.45492118) × cos(0.46053914) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.895813017126076 × 6371000     		do = 273.604353657185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45487324-0.45492118) × cos(0.46049620) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.895832100173359 × 6371000     		du = 273.610182111023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46053914)-sin(0.46049620))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895813017126076-0.895832100173359)×R²
    abs(0.45492118-0.45487324)×1.90830472832637e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.90830472832637e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.90830472832637e-05×40589641000000     		ar = 74850.9427558852m²