Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75023 / 55563
↖ ↑ ↗
← N 26.404170°
E 26.056824°		 ← 273.51 m → N 26.404170°
E 26.059570°		 →
↑
273.51 m
↓
↑
273.51 m
↓
N 26.401711°
E 26.056824°		 ← 273.51 m →
74 807 m²		 N 26.401711°
E 26.059570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572383880615234 y=0.423915863037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572383880615234 × 217)
    floor (0.572383880615234 × 131072)
    floor (75023.5)     		tx = 75023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423915863037109 × 217)
    floor (0.423915863037109 × 131072)
    floor (55563.5)     		ty = 55563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75023 / 55563 ti = "17/75023/55563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75023/55563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75023 ÷ 217
    75023 ÷ 131072     		x = 0.572380065917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55563 ÷ 217
    55563 ÷ 131072     		y = 0.423912048339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572380065917969 × 2 - 1) × π
    0.144760131835938 × 3.1415926535     		Λ = 0.45477737
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423912048339844 × 2 - 1) × π
    0.152175903320312 × 3.1415926535     		Φ = 0.47807469991082
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45477737} λ = 0.45477737}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.47807469991082))-π/2
    2×atan(1.61296596729741)-π/2
    2×1.01581802010891-π/2
    2.03163604021783-1.57079632675     		φ = 0.46083971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45477737} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.056824°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46083971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.404170°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75023 KachelY 55563 0.45477737 0.46083971 26.056824 26.404170
    Oben rechts KachelX + 1 75024 KachelY 55563 0.45482530 0.46083971 26.059570 26.404170
    Unten links KachelX 75023 KachelY + 1 55564 0.45477737 0.46079678 26.056824 26.401711
    Unten rechts KachelX + 1 75024 KachelY + 1 55564 0.45482530 0.46079678 26.059570 26.401711
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46083971-0.46079678) × R
    4.29299999999966e-05 × 6371000     		dl = 273.507029999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46083971-0.46079678) × R
    4.29299999999966e-05 × 6371000     		dr = 273.507029999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45477737-0.45482530) × cos(0.46083971) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.895679393995373 × 6371000     		do = 273.506477979448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45477737-0.45482530) × cos(0.46079678) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.895698484157087 × 6371000     		du = 273.512307389982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46083971)-sin(0.46079678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895679393995373-0.895698484157087)×R²
    abs(0.45482530-0.45477737)×1.9090161714086e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.9090161714086e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.9090161714086e-05×40589641000000     		ar = 74806.7416817364m²