Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75023 / 54635
↖ ↑ ↗
← N 28.664081°
E 26.056824°		 ← 267.94 m → N 28.664081°
E 26.059570°		 →
↑
267.96 m
↓
↑
267.96 m
↓
N 28.661671°
E 26.056824°		 ← 267.95 m →
71 799 m²		 N 28.661671°
E 26.059570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54635 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572383880615234 y=0.416835784912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572383880615234 × 217)
    floor (0.572383880615234 × 131072)
    floor (75023.5)     		tx = 75023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416835784912109 × 217)
    floor (0.416835784912109 × 131072)
    floor (54635.5)     		ty = 54635
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75023 / 54635 ti = "17/75023/54635"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75023/54635.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75023 ÷ 217
    75023 ÷ 131072     		x = 0.572380065917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54635 ÷ 217
    54635 ÷ 131072     		y = 0.416831970214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572380065917969 × 2 - 1) × π
    0.144760131835938 × 3.1415926535     		Λ = 0.45477737
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416831970214844 × 2 - 1) × π
    0.166336059570312 × 3.1415926535     		Φ = 0.522560142758232
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45477737} λ = 0.45477737}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.522560142758232))-π/2
    2×atan(1.68633939759543)-π/2
    2×1.03553946060342-π/2
    2.07107892120685-1.57079632675     		φ = 0.50028259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45477737} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.056824°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50028259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.664081°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75023 KachelY 54635 0.45477737 0.50028259 26.056824 28.664081
    Oben rechts KachelX + 1 75024 KachelY 54635 0.45482530 0.50028259 26.059570 28.664081
    Unten links KachelX 75023 KachelY + 1 54636 0.45477737 0.50024053 26.056824 28.661671
    Unten rechts KachelX + 1 75024 KachelY + 1 54636 0.45482530 0.50024053 26.059570 28.661671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50028259-0.50024053) × R
    4.20599999999549e-05 × 6371000     		dl = 267.964259999713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50028259-0.50024053) × R
    4.20599999999549e-05 × 6371000     		dr = 267.964259999713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45477737-0.45482530) × cos(0.50028259) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.877447045988619 × 6371000     		do = 267.939011180442m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45477737-0.45482530) × cos(0.50024053) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.877467220280555 × 6371000     		du = 267.945171643181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50028259)-sin(0.50024053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877447045988619-0.877467220280555)×R²
    abs(0.45482530-0.45477737)×2.01742919355707e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.01742919355707e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.01742919355707e-05×40589641000000     		ar = 71798.904258625m²