Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75022 / 55557
↖ ↑ ↗
← N 26.418930°
E 26.054077°		 ← 273.53 m → N 26.418930°
E 26.056824°		 →
↑
273.51 m
↓
↑
273.51 m
↓
N 26.416470°
E 26.054077°		 ← 273.53 m →
74 813 m²		 N 26.416470°
E 26.056824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572376251220703 y=0.423870086669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572376251220703 × 217)
    floor (0.572376251220703 × 131072)
    floor (75022.5)     		tx = 75022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423870086669922 × 217)
    floor (0.423870086669922 × 131072)
    floor (55557.5)     		ty = 55557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75022 / 55557 ti = "17/75022/55557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75022/55557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75022 ÷ 217
    75022 ÷ 131072     		x = 0.572372436523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55557 ÷ 217
    55557 ÷ 131072     		y = 0.423866271972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572372436523438 × 2 - 1) × π
    0.144744873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45472943
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423866271972656 × 2 - 1) × π
    0.152267456054688 × 3.1415926535     		Φ = 0.47836232130854
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45472943} λ = 0.45472943}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.47836232130854))-π/2
    2×atan(1.61342995754696)-π/2
    2×1.01594682014959-π/2
    2.03189364029918-1.57079632675     		φ = 0.46109731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45472943} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.054077°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46109731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.418930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75022 KachelY 55557 0.45472943 0.46109731 26.054077 26.418930
    Oben rechts KachelX + 1 75023 KachelY 55557 0.45477737 0.46109731 26.056824 26.418930
    Unten links KachelX 75022 KachelY + 1 55558 0.45472943 0.46105438 26.054077 26.416470
    Unten rechts KachelX + 1 75023 KachelY + 1 55558 0.45477737 0.46105438 26.056824 26.416470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46109731-0.46105438) × R
    4.29299999999966e-05 × 6371000     		dl = 273.507029999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46109731-0.46105438) × R
    4.29299999999966e-05 × 6371000     		dr = 273.507029999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45472943-0.45477737) × cos(0.46109731) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.895564809462503 × 6371000     		do = 273.528544648181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45472943-0.45477737) × cos(0.46105438) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.8955839095288 × 6371000     		du = 273.534378300064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46109731)-sin(0.46105438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895564809462503-0.8955839095288)×R²
    abs(0.45477737-0.45472943)×1.91000662966845e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.91000662966845e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.91000662966845e-05×40589641000000     		ar = 74812.7776507795m²