Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75021 / 57097
↖ ↑ ↗
← N 22.570902°
E 26.051330°		 ← 282.03 m → N 22.570902°
E 26.054077°		 →
↑
282.04 m
↓
↑
282.04 m
↓
N 22.568366°
E 26.051330°		 ← 282.04 m →
79 546 m²		 N 22.568366°
E 26.054077°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572368621826172 y=0.435619354248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572368621826172 × 217)
    floor (0.572368621826172 × 131072)
    floor (75021.5)     		tx = 75021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435619354248047 × 217)
    floor (0.435619354248047 × 131072)
    floor (57097.5)     		ty = 57097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75021 / 57097 ti = "17/75021/57097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75021/57097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75021 ÷ 217
    75021 ÷ 131072     		x = 0.572364807128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57097 ÷ 217
    57097 ÷ 131072     		y = 0.435615539550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572364807128906 × 2 - 1) × π
    0.144729614257812 × 3.1415926535     		Λ = 0.45468149
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435615539550781 × 2 - 1) × π
    0.128768920898438 × 3.1415926535     		Φ = 0.404539495893654
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45468149} λ = 0.45468149}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.404539495893654))-π/2
    2×atan(1.4986122240485)-π/2
    2×0.982366441609232-π/2
    1.96473288321846-1.57079632675     		φ = 0.39393656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45468149} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.051330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39393656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.570902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75021 KachelY 57097 0.45468149 0.39393656 26.051330 22.570902
    Oben rechts KachelX + 1 75022 KachelY 57097 0.45472943 0.39393656 26.054077 22.570902
    Unten links KachelX 75021 KachelY + 1 57098 0.45468149 0.39389229 26.051330 22.568366
    Unten rechts KachelX + 1 75022 KachelY + 1 57098 0.45472943 0.39389229 26.054077 22.568366
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39393656-0.39389229) × R
    4.42700000000129e-05 × 6371000     		dl = 282.044170000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39393656-0.39389229) × R
    4.42700000000129e-05 × 6371000     		dr = 282.044170000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45468149-0.45472943) × cos(0.39393656) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.923405262795795 × 6371000     		do = 282.031735709115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45468149-0.45472943) × cos(0.39389229) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.92342225388654 × 6371000     		du = 282.03692522558m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39393656)-sin(0.39389229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.923405262795795-0.92342225388654)×R²
    abs(0.45472943-0.45468149)×1.69910907450443e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.69910907450443e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.69910907450443e-05×40589641000000     		ar = 79546.1386611255m²