Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75021 / 55555
↖ ↑ ↗
← N 26.423849°
E 26.051330°		 ← 273.52 m → N 26.423849°
E 26.054077°		 →
↑
273.51 m
↓
↑
273.51 m
↓
N 26.421390°
E 26.051330°		 ← 273.52 m →
74 810 m²		 N 26.421390°
E 26.054077°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572368621826172 y=0.423854827880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572368621826172 × 217)
    floor (0.572368621826172 × 131072)
    floor (75021.5)     		tx = 75021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423854827880859 × 217)
    floor (0.423854827880859 × 131072)
    floor (55555.5)     		ty = 55555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75021 / 55555 ti = "17/75021/55555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75021/55555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75021 ÷ 217
    75021 ÷ 131072     		x = 0.572364807128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55555 ÷ 217
    55555 ÷ 131072     		y = 0.423851013183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572364807128906 × 2 - 1) × π
    0.144729614257812 × 3.1415926535     		Λ = 0.45468149
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423851013183594 × 2 - 1) × π
    0.152297973632812 × 3.1415926535     		Φ = 0.47845819510778
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45468149} λ = 0.45468149}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.47845819510778))-π/2
    2×atan(1.61358465062219)-π/2
    2×1.0159897498342-π/2
    2.0319794996684-1.57079632675     		φ = 0.46118317
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45468149} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.051330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46118317 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.423849°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75021 KachelY 55555 0.45468149 0.46118317 26.051330 26.423849
    Oben rechts KachelX + 1 75022 KachelY 55555 0.45472943 0.46118317 26.054077 26.423849
    Unten links KachelX 75021 KachelY + 1 55556 0.45468149 0.46114024 26.051330 26.421390
    Unten rechts KachelX + 1 75022 KachelY + 1 55556 0.45472943 0.46114024 26.054077 26.421390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46118317-0.46114024) × R
    4.29299999999966e-05 × 6371000     		dl = 273.507029999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46118317-0.46114024) × R
    4.29299999999966e-05 × 6371000     		dr = 273.507029999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45468149-0.45472943) × cos(0.46118317) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.895526604378408 × 6371000     		do = 273.516875831783m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45468149-0.45472943) × cos(0.46114024) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.895545707745694 × 6371000     		du = 273.522710491873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46118317)-sin(0.46114024))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895526604378408-0.895545707745694)×R²
    abs(0.45472943-0.45468149)×1.91033672862773e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91033672862773e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91033672862773e-05×40589641000000     		ar = 74809.5862854351m²