Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75020 / 57092
↖ ↑ ↗
← N 22.583582°
E 26.048584°		 ← 281.95 m → N 22.583582°
E 26.051330°		 →
↑
281.98 m
↓
↑
281.98 m
↓
N 22.581047°
E 26.048584°		 ← 281.95 m →
79 504 m²		 N 22.581047°
E 26.051330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572360992431641 y=0.435581207275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572360992431641 × 217)
    floor (0.572360992431641 × 131072)
    floor (75020.5)     		tx = 75020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435581207275391 × 217)
    floor (0.435581207275391 × 131072)
    floor (57092.5)     		ty = 57092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75020 / 57092 ti = "17/75020/57092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75020/57092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75020 ÷ 217
    75020 ÷ 131072     		x = 0.572357177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57092 ÷ 217
    57092 ÷ 131072     		y = 0.435577392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572357177734375 × 2 - 1) × π
    0.14471435546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45463356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435577392578125 × 2 - 1) × π
    0.12884521484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.404779180391754
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45463356} λ = 0.45463356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.404779180391754))-π/2
    2×atan(1.49897146121734)-π/2
    2×0.982477099481784-π/2
    1.96495419896357-1.57079632675     		φ = 0.39415787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45463356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.048584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39415787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.583582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75020 KachelY 57092 0.45463356 0.39415787 26.048584 22.583582
    Oben rechts KachelX + 1 75021 KachelY 57092 0.45468149 0.39415787 26.051330 22.583582
    Unten links KachelX 75020 KachelY + 1 57093 0.45463356 0.39411361 26.048584 22.581047
    Unten rechts KachelX + 1 75021 KachelY + 1 57093 0.45468149 0.39411361 26.051330 22.581047
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39415787-0.39411361) × R
    4.42600000000182e-05 × 6371000     		dl = 281.980460000116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39415787-0.39411361) × R
    4.42600000000182e-05 × 6371000     		dr = 281.980460000116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45463356-0.45468149) × cos(0.39415787) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.923320295558168 × 6371000     		do = 281.946959792015m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45463356-0.45468149) × cos(0.39411361) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.923337291855646 × 6371000     		du = 281.952149815915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39415787)-sin(0.39411361))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.923320295558168-0.923337291855646)×R²
    abs(0.45468149-0.45463356)×1.6996297477978e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.6996297477978e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.6996297477978e-05×40589641000000     		ar = 79504.2651733969m²