Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75020 / 55052
↖ ↑ ↗
← N 27.654338°
E 26.048584°		 ← 270.48 m → N 27.654338°
E 26.051330°		 →
↑
270.51 m
↓
↑
270.51 m
↓
N 27.651905°
E 26.048584°		 ← 270.48 m →
73 169 m²		 N 27.651905°
E 26.051330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55052 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572360992431641 y=0.420017242431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572360992431641 × 217)
    floor (0.572360992431641 × 131072)
    floor (75020.5)     		tx = 75020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420017242431641 × 217)
    floor (0.420017242431641 × 131072)
    floor (55052.5)     		ty = 55052
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75020 / 55052 ti = "17/75020/55052"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75020/55052.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75020 ÷ 217
    75020 ÷ 131072     		x = 0.572357177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55052 ÷ 217
    55052 ÷ 131072     		y = 0.420013427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572357177734375 × 2 - 1) × π
    0.14471435546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45463356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420013427734375 × 2 - 1) × π
    0.15997314453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.502570455616669
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45463356} λ = 0.45463356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.502570455616669))-π/2
    2×atan(1.65296468697087)-π/2
    2×1.02672778960184-π/2
    2.05345557920368-1.57079632675     		φ = 0.48265925
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45463356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.048584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48265925 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.654338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75020 KachelY 55052 0.45463356 0.48265925 26.048584 27.654338
    Oben rechts KachelX + 1 75021 KachelY 55052 0.45468149 0.48265925 26.051330 27.654338
    Unten links KachelX 75020 KachelY + 1 55053 0.45463356 0.48261679 26.048584 27.651905
    Unten rechts KachelX + 1 75021 KachelY + 1 55053 0.45468149 0.48261679 26.051330 27.651905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48265925-0.48261679) × R
    4.24599999999664e-05 × 6371000     		dl = 270.512659999786m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48265925-0.48261679) × R
    4.24599999999664e-05 × 6371000     		dr = 270.512659999786m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45463356-0.45468149) × cos(0.48265925) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.885763801714548 × 6371000     		do = 270.478632592237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45463356-0.45468149) × cos(0.48261679) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.885783508142593 × 6371000     		du = 270.484650187109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48265925)-sin(0.48261679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885763801714548-0.885783508142593)×R²
    abs(0.45468149-0.45463356)×1.97064280454962e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.97064280454962e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.97064280454962e-05×40589641000000     		ar = 73168.7083044274m²