Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7502 / 7894
↖ ↑ ↗
← N 79.474599°
W138.790283°		 ← 111.57 m → N 79.474599°
W138.784790°		 →
↑
111.56 m
↓
↑
111.56 m
↓
N 79.473596°
W138.790283°		 ← 111.58 m →
12 447 m²		 N 79.473596°
W138.784790°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7894 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.114479064941406 y=0.120460510253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.114479064941406 × 216)
    floor (0.114479064941406 × 65536)
    floor (7502.5)     		tx = 7502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120460510253906 × 216)
    floor (0.120460510253906 × 65536)
    floor (7894.5)     		ty = 7894
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7502 / 7894 ti = "16/7502/7894"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7502/7894.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7502 ÷ 216
    7502 ÷ 65536     		x = 0.114471435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7894 ÷ 216
    7894 ÷ 65536     		y = 0.120452880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.114471435546875 × 2 - 1) × π
    -0.77105712890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.42234741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120452880859375 × 2 - 1) × π
    0.75909423828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.38476488229855
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42234741} λ = -2.42234741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38476488229855))-π/2
    2×atan(10.8565098071897)-π/2
    2×1.47894487499518-π/2
    2.95788974999036-1.57079632675     		φ = 1.38709342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42234741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -138.790283°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38709342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.474599°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7502 KachelY 7894 -2.42234741 1.38709342 -138.790283 79.474599
    Oben rechts KachelX + 1 7503 KachelY 7894 -2.42225154 1.38709342 -138.784790 79.474599
    Unten links KachelX 7502 KachelY + 1 7895 -2.42234741 1.38707591 -138.790283 79.473596
    Unten rechts KachelX + 1 7503 KachelY + 1 7895 -2.42225154 1.38707591 -138.784790 79.473596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38709342-1.38707591) × R
    1.75099999999428e-05 × 6371000     		dl = 111.556209999636m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38709342-1.38707591) × R
    1.75099999999428e-05 × 6371000     		dr = 111.556209999636m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42234741--2.42225154) × cos(1.38709342) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.182671419213335 × 6371000     		do = 111.573468784046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42234741--2.42225154) × cos(1.38707591) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.182688634562412 × 6371000     		du = 111.583983708718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38709342)-sin(1.38707591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182671419213335-0.182688634562412)×R²
    abs(-2.42225154--2.42234741)×1.72153490768101e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.72153490768101e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.72153490768101e-05×40589641000000     		ar = 12447.2998172228m²