Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7502 / 5193
↖ ↑ ↗
← N 54.863963°
W 15.161133°		 ← 1 406.15 m → N 54.863963°
W 15.139160°		 →
↑
1 406.33 m
↓
↑
1 406.33 m
↓
N 54.851315°
W 15.161133°		 ← 1 406.60 m →
1 977 834 m²		 N 54.851315°
W 15.139160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457916259765625 y=0.316986083984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457916259765625 × 214)
    floor (0.457916259765625 × 16384)
    floor (7502.5)     		tx = 7502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316986083984375 × 214)
    floor (0.316986083984375 × 16384)
    floor (5193.5)     		ty = 5193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7502 / 5193 ti = "14/7502/5193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7502/5193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7502 ÷ 214
    7502 ÷ 16384     		x = 0.4578857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5193 ÷ 214
    5193 ÷ 16384     		y = 0.31695556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4578857421875 × 2 - 1) × π
    -0.084228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26461169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31695556640625 × 2 - 1) × π
    0.3660888671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.15010209568439
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26461169} λ = -0.26461169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15010209568439))-π/2
    2×atan(3.15851536401663)-π/2
    2×1.2641765603843-π/2
    2.52835312076859-1.57079632675     		φ = 0.95755679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26461169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.161133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95755679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.863963°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7502 KachelY 5193 -0.26461169 0.95755679 -15.161133 54.863963
    Oben rechts KachelX + 1 7503 KachelY 5193 -0.26422819 0.95755679 -15.139160 54.863963
    Unten links KachelX 7502 KachelY + 1 5194 -0.26461169 0.95733605 -15.161133 54.851315
    Unten rechts KachelX + 1 7503 KachelY + 1 5194 -0.26422819 0.95733605 -15.139160 54.851315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95755679-0.95733605) × R
    0.000220740000000053 × 6371000     		dl = 1406.33454000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95755679-0.95733605) × R
    0.000220740000000053 × 6371000     		dr = 1406.33454000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26461169--0.26422819) × cos(0.95755679) × R
    0.000383500000000037 × 0.575519729364402 × 6371000     		do = 1406.154981082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26461169--0.26422819) × cos(0.95733605) × R
    0.000383500000000037 × 0.575700233841436 × 6371000     		du = 1406.59600378989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95755679)-sin(0.95733605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.575519729364402-0.575700233841436)×R²
    abs(-0.26422819--0.26461169)×0.000180504477033772×R²
    0.000383500000000037×0.000180504477033772×6371000²
    0.000383500000000037×0.000180504477033772×40589641000000     		ar = 1977834.43925414m²