Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7502 / 3895
↖ ↑ ↗
← N 68.212369°
W 15.161133°		 ← 906.87 m → N 68.212369°
W 15.139160°		 →
↑
906.98 m
↓
↑
906.98 m
↓
N 68.204212°
W 15.161133°		 ← 907.19 m →
822 651 m²		 N 68.204212°
W 15.139160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3895 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457916259765625 y=0.237762451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457916259765625 × 214)
    floor (0.457916259765625 × 16384)
    floor (7502.5)     		tx = 7502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237762451171875 × 214)
    floor (0.237762451171875 × 16384)
    floor (3895.5)     		ty = 3895
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7502 / 3895 ti = "14/7502/3895"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7502/3895.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7502 ÷ 214
    7502 ÷ 16384     		x = 0.4578857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3895 ÷ 214
    3895 ÷ 16384     		y = 0.23773193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4578857421875 × 2 - 1) × π
    -0.084228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26461169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23773193359375 × 2 - 1) × π
    0.5245361328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.64787886133905
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26461169} λ = -0.26461169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64787886133905))-π/2
    2×atan(5.19594680638179)-π/2
    2×1.38066337972804-π/2
    2.76132675945608-1.57079632675     		φ = 1.19053043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26461169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.161133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19053043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.212369°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7502 KachelY 3895 -0.26461169 1.19053043 -15.161133 68.212369
    Oben rechts KachelX + 1 7503 KachelY 3895 -0.26422819 1.19053043 -15.139160 68.212369
    Unten links KachelX 7502 KachelY + 1 3896 -0.26461169 1.19038807 -15.161133 68.204212
    Unten rechts KachelX + 1 7503 KachelY + 1 3896 -0.26422819 1.19038807 -15.139160 68.204212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19053043-1.19038807) × R
    0.000142359999999897 × 6371000     		dl = 906.975559999344m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19053043-1.19038807) × R
    0.000142359999999897 × 6371000     		dr = 906.975559999344m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26461169--0.26422819) × cos(1.19053043) × R
    0.000383500000000037 × 0.371167385247963 × 6371000     		do = 906.865292277652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26461169--0.26422819) × cos(1.19038807) × R
    0.000383500000000037 × 0.371299572138779 × 6371000     		du = 907.188261665963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19053043)-sin(1.19038807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371167385247963-0.371299572138779)×R²
    abs(-0.26422819--0.26461169)×0.0001321868908154×R²
    0.000383500000000037×0.0001321868908154×6371000²
    0.000383500000000037×0.0001321868908154×40589641000000     		ar = 822651.120367003m²