Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7502 / 3894
↖ ↑ ↗
← N 68.220523°
W 15.161133°		 ← 906.54 m → N 68.220523°
W 15.139160°		 →
↑
906.72 m
↓
↑
906.72 m
↓
N 68.212369°
W 15.161133°		 ← 906.87 m →
822 127 m²		 N 68.212369°
W 15.139160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3894 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457916259765625 y=0.237701416015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457916259765625 × 214)
    floor (0.457916259765625 × 16384)
    floor (7502.5)     		tx = 7502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237701416015625 × 214)
    floor (0.237701416015625 × 16384)
    floor (3894.5)     		ty = 3894
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7502 / 3894 ti = "14/7502/3894"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7502/3894.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7502 ÷ 214
    7502 ÷ 16384     		x = 0.4578857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3894 ÷ 214
    3894 ÷ 16384     		y = 0.2376708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4578857421875 × 2 - 1) × π
    -0.084228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26461169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2376708984375 × 2 - 1) × π
    0.524658203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.64826235653601
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26461169} λ = -0.26461169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64826235653601))-π/2
    2×atan(5.19793980915477)-π/2
    2×1.38073453751166-π/2
    2.76146907502333-1.57079632675     		φ = 1.19067275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26461169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.161133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19067275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.220523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7502 KachelY 3894 -0.26461169 1.19067275 -15.161133 68.220523
    Oben rechts KachelX + 1 7503 KachelY 3894 -0.26422819 1.19067275 -15.139160 68.220523
    Unten links KachelX 7502 KachelY + 1 3895 -0.26461169 1.19053043 -15.161133 68.212369
    Unten rechts KachelX + 1 7503 KachelY + 1 3895 -0.26422819 1.19053043 -15.139160 68.212369
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19067275-1.19053043) × R
    0.00014232000000014 × 6371000     		dl = 906.720720000893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19067275-1.19053043) × R
    0.00014232000000014 × 6371000     		dr = 906.720720000893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26461169--0.26422819) × cos(1.19067275) × R
    0.000383500000000037 × 0.371035227979684 × 6371000     		do = 906.542395265447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26461169--0.26422819) × cos(1.19053043) × R
    0.000383500000000037 × 0.371167385247963 × 6371000     		du = 906.865292277652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19067275)-sin(1.19053043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371035227979684-0.371167385247963)×R²
    abs(-0.26422819--0.26461169)×0.000132157268279032×R²
    0.000383500000000037×0.000132157268279032×6371000²
    0.000383500000000037×0.000132157268279032×40589641000000     		ar = 822127.163439301m²