Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75019 / 55479
↖ ↑ ↗
← N 26.610630°
E 26.045837°		 ← 273.07 m → N 26.610630°
E 26.048584°		 →
↑
273.06 m
↓
↑
273.06 m
↓
N 26.608174°
E 26.045837°		 ← 273.08 m →
74 566 m²		 N 26.608174°
E 26.048584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572353363037109 y=0.423274993896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572353363037109 × 217)
    floor (0.572353363037109 × 131072)
    floor (75019.5)     		tx = 75019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423274993896484 × 217)
    floor (0.423274993896484 × 131072)
    floor (55479.5)     		ty = 55479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75019 / 55479 ti = "17/75019/55479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75019/55479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75019 ÷ 217
    75019 ÷ 131072     		x = 0.572349548339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55479 ÷ 217
    55479 ÷ 131072     		y = 0.423271179199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572349548339844 × 2 - 1) × π
    0.144699096679688 × 3.1415926535     		Λ = 0.45458562
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423271179199219 × 2 - 1) × π
    0.153457641601562 × 3.1415926535     		Φ = 0.482101399478905
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45458562} λ = 0.45458562}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.482101399478905))-π/2
    2×atan(1.61947399079538)-π/2
    2×1.01761971850664-π/2
    2.03523943701329-1.57079632675     		φ = 0.46444311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45458562} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.045837°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46444311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.610630°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75019 KachelY 55479 0.45458562 0.46444311 26.045837 26.610630
    Oben rechts KachelX + 1 75020 KachelY 55479 0.45463356 0.46444311 26.048584 26.610630
    Unten links KachelX 75019 KachelY + 1 55480 0.45458562 0.46440025 26.045837 26.608174
    Unten rechts KachelX + 1 75020 KachelY + 1 55480 0.45463356 0.46440025 26.048584 26.608174
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46444311-0.46440025) × R
    4.28599999999779e-05 × 6371000     		dl = 273.061059999859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46444311-0.46440025) × R
    4.28599999999779e-05 × 6371000     		dr = 273.061059999859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45458562-0.45463356) × cos(0.46444311) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.894071149168849 × 6371000     		do = 273.072342347367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45458562-0.45463356) × cos(0.46440025) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.894090346411933 × 6371000     		du = 273.078205679542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46444311)-sin(0.46440025))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894071149168849-0.894090346411933)×R²
    abs(0.45463356-0.45458562)×1.91972430836351e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91972430836351e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91972430836351e-05×40589641000000     		ar = 74566.2237933027m²