Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75019 / 55053
↖ ↑ ↗
← N 27.651905°
E 26.045837°		 ← 270.54 m → N 27.651905°
E 26.048584°		 →
↑
270.51 m
↓
↑
270.51 m
↓
N 27.649472°
E 26.045837°		 ← 270.55 m →
73 186 m²		 N 27.649472°
E 26.048584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55053 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572353363037109 y=0.420024871826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572353363037109 × 217)
    floor (0.572353363037109 × 131072)
    floor (75019.5)     		tx = 75019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420024871826172 × 217)
    floor (0.420024871826172 × 131072)
    floor (55053.5)     		ty = 55053
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75019 / 55053 ti = "17/75019/55053"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75019/55053.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75019 ÷ 217
    75019 ÷ 131072     		x = 0.572349548339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55053 ÷ 217
    55053 ÷ 131072     		y = 0.420021057128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572349548339844 × 2 - 1) × π
    0.144699096679688 × 3.1415926535     		Λ = 0.45458562
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420021057128906 × 2 - 1) × π
    0.159957885742188 × 3.1415926535     		Φ = 0.502522518717049
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45458562} λ = 0.45458562}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.502522518717049))-π/2
    2×atan(1.65288545086778)-π/2
    2×1.02670655898047-π/2
    2.05341311796093-1.57079632675     		φ = 0.48261679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45458562} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.045837°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48261679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.651905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75019 KachelY 55053 0.45458562 0.48261679 26.045837 27.651905
    Oben rechts KachelX + 1 75020 KachelY 55053 0.45463356 0.48261679 26.048584 27.651905
    Unten links KachelX 75019 KachelY + 1 55054 0.45458562 0.48257433 26.045837 27.649472
    Unten rechts KachelX + 1 75020 KachelY + 1 55054 0.45463356 0.48257433 26.048584 27.649472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48261679-0.48257433) × R
    4.24600000000219e-05 × 6371000     		dl = 270.51266000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48261679-0.48257433) × R
    4.24600000000219e-05 × 6371000     		dr = 270.51266000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45458562-0.45463356) × cos(0.48261679) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.885783508142593 × 6371000     		do = 270.54108345407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45458562-0.45463356) × cos(0.48257433) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.885803212973703 × 6371000     		du = 270.547101816693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48261679)-sin(0.48257433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885783508142593-0.885803212973703)×R²
    abs(0.45463356-0.45458562)×1.97048311094683e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97048311094683e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97048311094683e-05×40589641000000     		ar = 73185.6021571539m²