Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75018 / 57048
↖ ↑ ↗
← N 22.695120°
E 26.043091°		 ← 281.78 m → N 22.695120°
E 26.045837°		 →
↑
281.73 m
↓
↑
281.73 m
↓
N 22.692586°
E 26.043091°		 ← 281.78 m →
79 385 m²		 N 22.692586°
E 26.045837°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75018 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572345733642578 y=0.435245513916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572345733642578 × 217)
    floor (0.572345733642578 × 131072)
    floor (75018.5)     		tx = 75018
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435245513916016 × 217)
    floor (0.435245513916016 × 131072)
    floor (57048.5)     		ty = 57048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75018 / 57048 ti = "17/75018/57048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75018/57048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75018 ÷ 217
    75018 ÷ 131072     		x = 0.572341918945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57048 ÷ 217
    57048 ÷ 131072     		y = 0.43524169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572341918945312 × 2 - 1) × π
    0.144683837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.45453768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43524169921875 × 2 - 1) × π
    0.1295166015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.406888403975037
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45453768} λ = 0.45453768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.406888403975037))-π/2
    2×atan(1.50213646384973)-π/2
    2×0.983450449073822-π/2
    1.96690089814764-1.57079632675     		φ = 0.39610457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45453768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.043091°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39610457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.695120°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75018 KachelY 57048 0.45453768 0.39610457 26.043091 22.695120
    Oben rechts KachelX + 1 75019 KachelY 57048 0.45458562 0.39610457 26.045837 22.695120
    Unten links KachelX 75018 KachelY + 1 57049 0.45453768 0.39606035 26.043091 22.692586
    Unten rechts KachelX + 1 75019 KachelY + 1 57049 0.45458562 0.39606035 26.045837 22.692586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39610457-0.39606035) × R
    4.42199999999837e-05 × 6371000     		dl = 281.725619999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39610457-0.39606035) × R
    4.42199999999837e-05 × 6371000     		dr = 281.725619999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45453768-0.45458562) × cos(0.39610457) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.922570953806031 × 6371000     		do = 281.776916268854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45453768-0.45458562) × cos(0.39606035) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.922588014194666 × 6371000     		du = 281.782126950678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39610457)-sin(0.39606035))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.922570953806031-0.922588014194666)×R²
    abs(0.45458562-0.45453768)×1.70603886353593e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.70603886353593e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.70603886353593e-05×40589641000000     		ar = 79384.5104416775m²