Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75017 / 57082
↖ ↑ ↗
← N 22.608940°
E 26.040345°		 ← 281.90 m → N 22.608940°
E 26.043091°		 →
↑
281.92 m
↓
↑
281.92 m
↓
N 22.606404°
E 26.040345°		 ← 281.90 m →
79 472 m²		 N 22.606404°
E 26.043091°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572338104248047 y=0.435504913330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572338104248047 × 217)
    floor (0.572338104248047 × 131072)
    floor (75017.5)     		tx = 75017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435504913330078 × 217)
    floor (0.435504913330078 × 131072)
    floor (57082.5)     		ty = 57082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75017 / 57082 ti = "17/75017/57082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75017/57082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75017 ÷ 217
    75017 ÷ 131072     		x = 0.572334289550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57082 ÷ 217
    57082 ÷ 131072     		y = 0.435501098632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572334289550781 × 2 - 1) × π
    0.144668579101562 × 3.1415926535     		Λ = 0.45448975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435501098632812 × 2 - 1) × π
    0.128997802734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.405258549387955
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45448975} λ = 0.45448975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.405258549387955))-π/2
    2×atan(1.49969019391736)-π/2
    2×0.982698384666896-π/2
    1.96539676933379-1.57079632675     		φ = 0.39460044
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45448975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.040345°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39460044 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.608940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75017 KachelY 57082 0.45448975 0.39460044 26.040345 22.608940
    Oben rechts KachelX + 1 75018 KachelY 57082 0.45453768 0.39460044 26.043091 22.608940
    Unten links KachelX 75017 KachelY + 1 57083 0.45448975 0.39455619 26.040345 22.606404
    Unten rechts KachelX + 1 75018 KachelY + 1 57083 0.45453768 0.39455619 26.043091 22.606404
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39460044-0.39455619) × R
    4.42500000000234e-05 × 6371000     		dl = 281.916750000149m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39460044-0.39455619) × R
    4.42500000000234e-05 × 6371000     		dr = 281.916750000149m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45448975-0.45453768) × cos(0.39460044) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.92315024464158 × 6371000     		do = 281.895032698596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45448975-0.45453768) × cos(0.39455619) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.923167255179709 × 6371000     		du = 281.90022707105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39460044)-sin(0.39455619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92315024464158-0.923167255179709)×R²
    abs(0.45453768-0.45448975)×1.70105381290808e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.70105381290808e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.70105381290808e-05×40589641000000     		ar = 79471.6636627973m²