Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75017 / 55559
↖ ↑ ↗
← N 26.414010°
E 26.040345°		 ← 273.48 m → N 26.414010°
E 26.043091°		 →
↑
273.51 m
↓
↑
273.51 m
↓
N 26.411551°
E 26.040345°		 ← 273.49 m →
74 800 m²		 N 26.411551°
E 26.043091°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572338104248047 y=0.423885345458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572338104248047 × 217)
    floor (0.572338104248047 × 131072)
    floor (75017.5)     		tx = 75017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423885345458984 × 217)
    floor (0.423885345458984 × 131072)
    floor (55559.5)     		ty = 55559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75017 / 55559 ti = "17/75017/55559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75017/55559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75017 ÷ 217
    75017 ÷ 131072     		x = 0.572334289550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55559 ÷ 217
    55559 ÷ 131072     		y = 0.423881530761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572334289550781 × 2 - 1) × π
    0.144668579101562 × 3.1415926535     		Λ = 0.45448975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423881530761719 × 2 - 1) × π
    0.152236938476562 × 3.1415926535     		Φ = 0.4782664475093
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45448975} λ = 0.45448975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.4782664475093))-π/2
    2×atan(1.61327527930204)-π/2
    2×1.01590388863368-π/2
    2.03180777726736-1.57079632675     		φ = 0.46101145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45448975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.040345°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46101145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.414010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75017 KachelY 55559 0.45448975 0.46101145 26.040345 26.414010
    Oben rechts KachelX + 1 75018 KachelY 55559 0.45453768 0.46101145 26.043091 26.414010
    Unten links KachelX 75017 KachelY + 1 55560 0.45448975 0.46096852 26.040345 26.411551
    Unten rechts KachelX + 1 75018 KachelY + 1 55560 0.45453768 0.46096852 26.043091 26.411551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46101145-0.46096852) × R
    4.29299999999966e-05 × 6371000     		dl = 273.507029999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46101145-0.46096852) × R
    4.29299999999966e-05 × 6371000     		dr = 273.507029999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45448975-0.45453768) × cos(0.46101145) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.895603007944549 × 6371000     		do = 273.483152579904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45448975-0.45453768) × cos(0.46096852) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.895622104709715 × 6371000     		du = 273.488984006882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46101145)-sin(0.46096852))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895603007944549-0.895622104709715)×R²
    abs(0.45453768-0.45448975)×1.90967651663154e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.90967651663154e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.90967651663154e-05×40589641000000     		ar = 74800.3622967238m²