Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75016 / 57101
↖ ↑ ↗
← N 22.560757°
E 26.037598°		 ← 282.05 m → N 22.560757°
E 26.040345°		 →
↑
282.04 m
↓
↑
282.04 m
↓
N 22.558220°
E 26.037598°		 ← 282.06 m →
79 552 m²		 N 22.558220°
E 26.040345°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572330474853516 y=0.435649871826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572330474853516 × 217)
    floor (0.572330474853516 × 131072)
    floor (75016.5)     		tx = 75016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435649871826172 × 217)
    floor (0.435649871826172 × 131072)
    floor (57101.5)     		ty = 57101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75016 / 57101 ti = "17/75016/57101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75016/57101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75016 ÷ 217
    75016 ÷ 131072     		x = 0.57232666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57101 ÷ 217
    57101 ÷ 131072     		y = 0.435646057128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57232666015625 × 2 - 1) × π
    0.1446533203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45444181
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435646057128906 × 2 - 1) × π
    0.128707885742188 × 3.1415926535     		Φ = 0.404347748295174
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45444181} λ = 0.45444181}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.404347748295174))-π/2
    2×atan(1.49832489630157)-π/2
    2×0.982277907980881-π/2
    1.96455581596176-1.57079632675     		φ = 0.39375949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45444181} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.037598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39375949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.560757°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75016 KachelY 57101 0.45444181 0.39375949 26.037598 22.560757
    Oben rechts KachelX + 1 75017 KachelY 57101 0.45448975 0.39375949 26.040345 22.560757
    Unten links KachelX 75016 KachelY + 1 57102 0.45444181 0.39371522 26.037598 22.558220
    Unten rechts KachelX + 1 75017 KachelY + 1 57102 0.45448975 0.39371522 26.040345 22.558220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39375949-0.39371522) × R
    4.42700000000129e-05 × 6371000     		dl = 282.044170000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39375949-0.39371522) × R
    4.42700000000129e-05 × 6371000     		dr = 282.044170000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45444181-0.45448975) × cos(0.39375949) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.923473212463493 × 6371000     		do = 282.052489286981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45444181-0.45448975) × cos(0.39371522) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.923490196315434 × 6371000     		du = 282.057676592528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39375949)-sin(0.39371522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.923473212463493-0.923490196315434)×R²
    abs(0.45448975-0.45444181)×1.69838519408216e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.69838519408216e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.69838519408216e-05×40589641000000     		ar = 79551.9917750511m²