Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75016 / 56328
↖ ↑ ↗
← N 24.507143°
E 26.037598°		 ← 277.91 m → N 24.507143°
E 26.040345°		 →
↑
277.90 m
↓
↑
277.90 m
↓
N 24.504644°
E 26.037598°		 ← 277.92 m →
77 233 m²		 N 24.504644°
E 26.040345°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572330474853516 y=0.429752349853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572330474853516 × 217)
    floor (0.572330474853516 × 131072)
    floor (75016.5)     		tx = 75016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429752349853516 × 217)
    floor (0.429752349853516 × 131072)
    floor (56328.5)     		ty = 56328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75016 / 56328 ti = "17/75016/56328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75016/56328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75016 ÷ 217
    75016 ÷ 131072     		x = 0.57232666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56328 ÷ 217
    56328 ÷ 131072     		y = 0.42974853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57232666015625 × 2 - 1) × π
    0.1446533203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45444181
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42974853515625 × 2 - 1) × π
    0.1405029296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.441402971701477
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45444181} λ = 0.45444181}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.441402971701477))-π/2
    2×atan(1.55488715163426)-π/2
    2×0.999263333665787-π/2
    1.99852666733157-1.57079632675     		φ = 0.42773034
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45444181} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.037598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42773034 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.507143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75016 KachelY 56328 0.45444181 0.42773034 26.037598 24.507143
    Oben rechts KachelX + 1 75017 KachelY 56328 0.45448975 0.42773034 26.040345 24.507143
    Unten links KachelX 75016 KachelY + 1 56329 0.45444181 0.42768672 26.037598 24.504644
    Unten rechts KachelX + 1 75017 KachelY + 1 56329 0.45448975 0.42768672 26.040345 24.504644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42773034-0.42768672) × R
    4.36199999999665e-05 × 6371000     		dl = 277.903019999786m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42773034-0.42768672) × R
    4.36199999999665e-05 × 6371000     		dr = 277.903019999786m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45444181-0.45448975) × cos(0.42773034) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.909909562645683 × 6371000     		do = 277.909801504274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45444181-0.45448975) × cos(0.42768672) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.909927655647732 × 6371000     		du = 277.915327572813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42773034)-sin(0.42768672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909909562645683-0.909927655647732)×R²
    abs(0.45448975-0.45444181)×1.80930020486914e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.80930020486914e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.80930020486914e-05×40589641000000     		ar = 77232.7409933984m²