Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75015 / 55443
↖ ↑ ↗
← N 26.698999°
E 26.034851°		 ← 272.86 m → N 26.698999°
E 26.037598°		 →
↑
272.87 m
↓
↑
272.87 m
↓
N 26.696545°
E 26.034851°		 ← 272.87 m →
74 456 m²		 N 26.696545°
E 26.037598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572322845458984 y=0.423000335693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572322845458984 × 217)
    floor (0.572322845458984 × 131072)
    floor (75015.5)     		tx = 75015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423000335693359 × 217)
    floor (0.423000335693359 × 131072)
    floor (55443.5)     		ty = 55443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75015 / 55443 ti = "17/75015/55443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75015/55443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75015 ÷ 217
    75015 ÷ 131072     		x = 0.572319030761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55443 ÷ 217
    55443 ÷ 131072     		y = 0.422996520996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572319030761719 × 2 - 1) × π
    0.144638061523438 × 3.1415926535     		Λ = 0.45439387
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422996520996094 × 2 - 1) × π
    0.154006958007812 × 3.1415926535     		Φ = 0.483827127865227
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45439387} λ = 0.45439387}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.483827127865227))-π/2
    2×atan(1.6222711759289)-π/2
    2×1.0183908820895-π/2
    2.03678176417899-1.57079632675     		φ = 0.46598544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45439387} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.034851°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46598544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.698999°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75015 KachelY 55443 0.45439387 0.46598544 26.034851 26.698999
    Oben rechts KachelX + 1 75016 KachelY 55443 0.45444181 0.46598544 26.037598 26.698999
    Unten links KachelX 75015 KachelY + 1 55444 0.45439387 0.46594261 26.034851 26.696545
    Unten rechts KachelX + 1 75016 KachelY + 1 55444 0.45444181 0.46594261 26.037598 26.696545
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46598544-0.46594261) × R
    4.28299999999937e-05 × 6371000     		dl = 272.86992999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46598544-0.46594261) × R
    4.28299999999937e-05 × 6371000     		dr = 272.86992999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45439387-0.45444181) × cos(0.46598544) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.893379237921336 × 6371000     		do = 272.861014842897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45439387-0.45444181) × cos(0.46594261) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.893398480766159 × 6371000     		du = 272.866892103017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46598544)-sin(0.46594261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.893379237921336-0.893398480766159)×R²
    abs(0.45444181-0.45439387)×1.92428448233528e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.92428448233528e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.92428448233528e-05×40589641000000     		ar = 74456.3678951068m²