Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75014 / 57099
↖ ↑ ↗
← N 22.565829°
E 26.032104°		 ← 282.04 m → N 22.565829°
E 26.034851°		 →
↑
281.98 m
↓
↑
281.98 m
↓
N 22.563293°
E 26.032104°		 ← 282.05 m →
79 531 m²		 N 22.563293°
E 26.034851°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572315216064453 y=0.435634613037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572315216064453 × 217)
    floor (0.572315216064453 × 131072)
    floor (75014.5)     		tx = 75014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435634613037109 × 217)
    floor (0.435634613037109 × 131072)
    floor (57099.5)     		ty = 57099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75014 / 57099 ti = "17/75014/57099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75014/57099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75014 ÷ 217
    75014 ÷ 131072     		x = 0.572311401367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57099 ÷ 217
    57099 ÷ 131072     		y = 0.435630798339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572311401367188 × 2 - 1) × π
    0.144622802734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.45434593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435630798339844 × 2 - 1) × π
    0.128738403320312 × 3.1415926535     		Φ = 0.404443622094414
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45434593} λ = 0.45434593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.404443622094414))-π/2
    2×atan(1.49846855328824)-π/2
    2×0.982322175609368-π/2
    1.96464435121874-1.57079632675     		φ = 0.39384802
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45434593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.032104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39384802 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.565829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75014 KachelY 57099 0.45434593 0.39384802 26.032104 22.565829
    Oben rechts KachelX + 1 75015 KachelY 57099 0.45439387 0.39384802 26.034851 22.565829
    Unten links KachelX 75014 KachelY + 1 57100 0.45434593 0.39380376 26.032104 22.563293
    Unten rechts KachelX + 1 75015 KachelY + 1 57100 0.45439387 0.39380376 26.034851 22.563293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39384802-0.39380376) × R
    4.42600000000182e-05 × 6371000     		dl = 281.980460000116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39384802-0.39380376) × R
    4.42600000000182e-05 × 6371000     		dr = 281.980460000116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45434593-0.45439387) × cos(0.39384802) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.923439243167532 × 6371000     		do = 282.042114189299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45434593-0.45439387) × cos(0.39380376) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.923456226801699 × 6371000     		du = 282.047301428332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39384802)-sin(0.39380376))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.923439243167532-0.923456226801699)×R²
    abs(0.45439387-0.45434593)×1.69836341672447e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.69836341672447e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.69836341672447e-05×40589641000000     		ar = 79531.0964615006m²