Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75014 / 55558
↖ ↑ ↗
← N 26.416470°
E 26.032104°		 ← 273.53 m → N 26.416470°
E 26.034851°		 →
↑
273.51 m
↓
↑
273.51 m
↓
N 26.414010°
E 26.032104°		 ← 273.54 m →
74 814 m²		 N 26.414010°
E 26.034851°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572315216064453 y=0.423877716064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572315216064453 × 217)
    floor (0.572315216064453 × 131072)
    floor (75014.5)     		tx = 75014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423877716064453 × 217)
    floor (0.423877716064453 × 131072)
    floor (55558.5)     		ty = 55558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75014 / 55558 ti = "17/75014/55558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75014/55558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75014 ÷ 217
    75014 ÷ 131072     		x = 0.572311401367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55558 ÷ 217
    55558 ÷ 131072     		y = 0.423873901367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572311401367188 × 2 - 1) × π
    0.144622802734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.45434593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423873901367188 × 2 - 1) × π
    0.152252197265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.47831438440892
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45434593} λ = 0.45434593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.47831438440892))-π/2
    2×atan(1.6133526165708)-π/2
    2×1.01592535462053-π/2
    2.03185070924107-1.57079632675     		φ = 0.46105438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45434593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.032104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46105438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.416470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75014 KachelY 55558 0.45434593 0.46105438 26.032104 26.416470
    Oben rechts KachelX + 1 75015 KachelY 55558 0.45439387 0.46105438 26.034851 26.416470
    Unten links KachelX 75014 KachelY + 1 55559 0.45434593 0.46101145 26.032104 26.414010
    Unten rechts KachelX + 1 75015 KachelY + 1 55559 0.45439387 0.46101145 26.034851 26.414010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46105438-0.46101145) × R
    4.29299999999966e-05 × 6371000     		dl = 273.507029999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46105438-0.46101145) × R
    4.29299999999966e-05 × 6371000     		dr = 273.507029999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45434593-0.45439387) × cos(0.46105438) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.8955839095288 × 6371000     		do = 273.534378299747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45434593-0.45439387) × cos(0.46101145) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.895603007944549 × 6371000     		du = 273.54021144751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46105438)-sin(0.46101145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.8955839095288-0.895603007944549)×R²
    abs(0.45439387-0.45434593)×1.9098415749097e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.9098415749097e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.9098415749097e-05×40589641000000     		ar = 74814.3731266306m²