Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75013 / 57096
↖ ↑ ↗
← N 22.573438°
E 26.029358°		 ← 281.97 m → N 22.573438°
E 26.032104°		 →
↑
281.98 m
↓
↑
281.98 m
↓
N 22.570902°
E 26.029358°		 ← 281.97 m →
79 510 m²		 N 22.570902°
E 26.032104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572307586669922 y=0.435611724853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572307586669922 × 217)
    floor (0.572307586669922 × 131072)
    floor (75013.5)     		tx = 75013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435611724853516 × 217)
    floor (0.435611724853516 × 131072)
    floor (57096.5)     		ty = 57096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75013 / 57096 ti = "17/75013/57096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75013/57096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75013 ÷ 217
    75013 ÷ 131072     		x = 0.572303771972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57096 ÷ 217
    57096 ÷ 131072     		y = 0.43560791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572303771972656 × 2 - 1) × π
    0.144607543945312 × 3.1415926535     		Λ = 0.45429800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43560791015625 × 2 - 1) × π
    0.1287841796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.404587432793274
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45429800} λ = 0.45429800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.404587432793274))-π/2
    2×atan(1.49868406459415)-π/2
    2×0.982388573998341-π/2
    1.96477714799668-1.57079632675     		φ = 0.39398082
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45429800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.029358°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39398082 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.573438°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75013 KachelY 57096 0.45429800 0.39398082 26.029358 22.573438
    Oben rechts KachelX + 1 75014 KachelY 57096 0.45434593 0.39398082 26.032104 22.573438
    Unten links KachelX 75013 KachelY + 1 57097 0.45429800 0.39393656 26.029358 22.570902
    Unten rechts KachelX + 1 75014 KachelY + 1 57097 0.45434593 0.39393656 26.032104 22.570902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39398082-0.39393656) × R
    4.42600000000182e-05 × 6371000     		dl = 281.980460000116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39398082-0.39393656) × R
    4.42600000000182e-05 × 6371000     		dr = 281.980460000116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45429800-0.45434593) × cos(0.39398082) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.923388273734003 × 6371000     		do = 281.967717745784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45429800-0.45434593) × cos(0.39393656) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.923405262795795 × 6371000     		du = 281.97290556018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39398082)-sin(0.39393656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.923388273734003-0.923405262795795)×R²
    abs(0.45434593-0.45429800)×1.69890617920387e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.69890617920387e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.69890617920387e-05×40589641000000     		ar = 79510.118199279m²