Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75010 / 56066
↖ ↑ ↗
← N 25.160202°
E 26.021118°		 ← 276.39 m → N 25.160202°
E 26.023865°		 →
↑
276.44 m
↓
↑
276.44 m
↓
N 25.157716°
E 26.021118°		 ← 276.40 m →
76 405 m²		 N 25.157716°
E 26.023865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56066 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572284698486328 y=0.427753448486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572284698486328 × 217)
    floor (0.572284698486328 × 131072)
    floor (75010.5)     		tx = 75010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427753448486328 × 217)
    floor (0.427753448486328 × 131072)
    floor (56066.5)     		ty = 56066
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75010 / 56066 ti = "17/75010/56066"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75010/56066.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75010 ÷ 217
    75010 ÷ 131072     		x = 0.572280883789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56066 ÷ 217
    56066 ÷ 131072     		y = 0.427749633789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572280883789062 × 2 - 1) × π
    0.144561767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45415419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427749633789062 × 2 - 1) × π
    0.144500732421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.453962439401932
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45415419} λ = 0.45415419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.453962439401932))-π/2
    2×atan(1.57453885574322)-π/2
    2×1.0049623415645-π/2
    2.00992468312899-1.57079632675     		φ = 0.43912836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45415419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.021118°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43912836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.160202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75010 KachelY 56066 0.45415419 0.43912836 26.021118 25.160202
    Oben rechts KachelX + 1 75011 KachelY 56066 0.45420212 0.43912836 26.023865 25.160202
    Unten links KachelX 75010 KachelY + 1 56067 0.45415419 0.43908497 26.021118 25.157716
    Unten rechts KachelX + 1 75011 KachelY + 1 56067 0.45420212 0.43908497 26.023865 25.157716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43912836-0.43908497) × R
    4.33899999999765e-05 × 6371000     		dl = 276.43768999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43912836-0.43908497) × R
    4.33899999999765e-05 × 6371000     		dr = 276.43768999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45415419-0.45420212) × cos(0.43912836) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.90512258535292 × 6371000     		do = 276.390070062065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45415419-0.45420212) × cos(0.43908497) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.90514103178913 × 6371000     		du = 276.395702903272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43912836)-sin(0.43908497))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90512258535292-0.90514103178913)×R²
    abs(0.45420212-0.45415419)×1.84464362097403e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.84464362097403e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.84464362097403e-05×40589641000000     		ar = 76405.411083674m²