Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75010 / 55551
↖ ↑ ↗
← N 26.433687°
E 26.021118°		 ← 273.44 m → N 26.433687°
E 26.023865°		 →
↑
273.44 m
↓
↑
273.44 m
↓
N 26.431228°
E 26.021118°		 ← 273.44 m →
74 770 m²		 N 26.431228°
E 26.023865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572284698486328 y=0.423824310302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572284698486328 × 217)
    floor (0.572284698486328 × 131072)
    floor (75010.5)     		tx = 75010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423824310302734 × 217)
    floor (0.423824310302734 × 131072)
    floor (55551.5)     		ty = 55551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75010 / 55551 ti = "17/75010/55551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75010/55551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75010 ÷ 217
    75010 ÷ 131072     		x = 0.572280883789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55551 ÷ 217
    55551 ÷ 131072     		y = 0.423820495605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572280883789062 × 2 - 1) × π
    0.144561767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45415419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423820495605469 × 2 - 1) × π
    0.152359008789062 × 3.1415926535     		Φ = 0.478649942706261
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45415419} λ = 0.45415419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.478649942706261))-π/2
    2×atan(1.61389408126923)-π/2
    2×1.01607560370857-π/2
    2.03215120741713-1.57079632675     		φ = 0.46135488
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45415419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.021118°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46135488 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.433687°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75010 KachelY 55551 0.45415419 0.46135488 26.021118 26.433687
    Oben rechts KachelX + 1 75011 KachelY 55551 0.45420212 0.46135488 26.023865 26.433687
    Unten links KachelX 75010 KachelY + 1 55552 0.45415419 0.46131196 26.021118 26.431228
    Unten rechts KachelX + 1 75011 KachelY + 1 55552 0.45420212 0.46131196 26.023865 26.431228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46135488-0.46131196) × R
    4.29200000000018e-05 × 6371000     		dl = 273.443320000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46135488-0.46131196) × R
    4.29200000000018e-05 × 6371000     		dr = 273.443320000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45415419-0.45420212) × cos(0.46135488) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.895450178856812 × 6371000     		do = 273.43648437943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45415419-0.45420212) × cos(0.46131196) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.895469284374037 × 6371000     		du = 273.442318478954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46135488)-sin(0.46131196))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895450178856812-0.895469284374037)×R²
    abs(0.45420212-0.45415419)×1.9105517225726e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.9105517225726e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.9105517225726e-05×40589641000000     		ar = 74770.1777570862m²