Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7501 / 5211
↖ ↑ ↗
← N 54.635697°
W 15.183105°		 ← 1 414.07 m → N 54.635697°
W 15.161133°		 →
↑
1 414.30 m
↓
↑
1 414.30 m
↓
N 54.622978°
W 15.183105°		 ← 1 414.51 m →
2 000 226 m²		 N 54.622978°
W 15.161133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457855224609375 y=0.318084716796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457855224609375 × 214)
    floor (0.457855224609375 × 16384)
    floor (7501.5)     		tx = 7501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318084716796875 × 214)
    floor (0.318084716796875 × 16384)
    floor (5211.5)     		ty = 5211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7501 / 5211 ti = "14/7501/5211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7501/5211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7501 ÷ 214
    7501 ÷ 16384     		x = 0.45782470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5211 ÷ 214
    5211 ÷ 16384     		y = 0.31805419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45782470703125 × 2 - 1) × π
    -0.0843505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26499518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31805419921875 × 2 - 1) × π
    0.3638916015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.1431991821391
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26499518} λ = -0.26499518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1431991821391))-π/2
    2×atan(3.13678748464189)-π/2
    2×1.2621845669449-π/2
    2.5243691338898-1.57079632675     		φ = 0.95357281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26499518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.183105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95357281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.635697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7501 KachelY 5211 -0.26499518 0.95357281 -15.183105 54.635697
    Oben rechts KachelX + 1 7502 KachelY 5211 -0.26461169 0.95357281 -15.161133 54.635697
    Unten links KachelX 7501 KachelY + 1 5212 -0.26499518 0.95335082 -15.183105 54.622978
    Unten rechts KachelX + 1 7502 KachelY + 1 5212 -0.26461169 0.95335082 -15.161133 54.622978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95357281-0.95335082) × R
    0.000221990000000005 × 6371000     		dl = 1414.29829000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95357281-0.95335082) × R
    0.000221990000000005 × 6371000     		dr = 1414.29829000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26499518--0.26461169) × cos(0.95357281) × R
    0.000383489999999986 × 0.578773204017074 × 6371000     		do = 1414.06725211015m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26499518--0.26461169) × cos(0.95335082) × R
    0.000383489999999986 × 0.578954220058383 × 6371000     		du = 1414.50951317951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95357281)-sin(0.95335082))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578773204017074-0.578954220058383)×R²
    abs(-0.26461169--0.26499518)×0.00018101604130949×R²
    0.000383489999999986×0.00018101604130949×6371000²
    0.000383489999999986×0.00018101604130949×40589641000000     		ar = 2000225.6493567m²