Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75009 / 56577
↖ ↑ ↗
← N 23.883326°
E 26.018372°		 ← 279.27 m → N 23.883326°
E 26.021118°		 →
↑
279.24 m
↓
↑
279.24 m
↓
N 23.880815°
E 26.018372°		 ← 279.28 m →
77 985 m²		 N 23.880815°
E 26.021118°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75009 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572277069091797 y=0.431652069091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572277069091797 × 217)
    floor (0.572277069091797 × 131072)
    floor (75009.5)     		tx = 75009
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431652069091797 × 217)
    floor (0.431652069091797 × 131072)
    floor (56577.5)     		ty = 56577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75009 / 56577 ti = "17/75009/56577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75009/56577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75009 ÷ 217
    75009 ÷ 131072     		x = 0.572273254394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56577 ÷ 217
    56577 ÷ 131072     		y = 0.431648254394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572273254394531 × 2 - 1) × π
    0.144546508789062 × 3.1415926535     		Λ = 0.45410625
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431648254394531 × 2 - 1) × π
    0.136703491210938 × 3.1415926535     		Φ = 0.429466683696083
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45410625} λ = 0.45410625}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.429466683696083))-π/2
    2×atan(1.53643789762701)-π/2
    2×0.993819503759308-π/2
    1.98763900751862-1.57079632675     		φ = 0.41684268
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45410625} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.018372°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41684268 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.883326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75009 KachelY 56577 0.45410625 0.41684268 26.018372 23.883326
    Oben rechts KachelX + 1 75010 KachelY 56577 0.45415419 0.41684268 26.021118 23.883326
    Unten links KachelX 75009 KachelY + 1 56578 0.45410625 0.41679885 26.018372 23.880815
    Unten rechts KachelX + 1 75010 KachelY + 1 56578 0.45415419 0.41679885 26.021118 23.880815
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41684268-0.41679885) × R
    4.38300000000225e-05 × 6371000     		dl = 279.240930000143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41684268-0.41679885) × R
    4.38300000000225e-05 × 6371000     		dr = 279.240930000143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45410625-0.45415419) × cos(0.41684268) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.914371817269777 × 6371000     		do = 279.272688924907m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45410625-0.45415419) × cos(0.41679885) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.914389562085153 × 6371000     		du = 279.278108648274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41684268)-sin(0.41679885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.914371817269777-0.914389562085153)×R²
    abs(0.45415419-0.45410625)×1.77448153760862e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.77448153760862e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.77448153760862e-05×40589641000000     		ar = 77985.122095792m²