Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75008 / 55040
↖ ↑ ↗
← N 27.683528°
E 26.015625°		 ← 270.46 m → N 27.683528°
E 26.018372°		 →
↑
270.45 m
↓
↑
270.45 m
↓
N 27.681096°
E 26.015625°		 ← 270.47 m →
73 147 m²		 N 27.681096°
E 26.018372°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572269439697266 y=0.419925689697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572269439697266 × 217)
    floor (0.572269439697266 × 131072)
    floor (75008.5)     		tx = 75008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419925689697266 × 217)
    floor (0.419925689697266 × 131072)
    floor (55040.5)     		ty = 55040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75008 / 55040 ti = "17/75008/55040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75008/55040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75008 ÷ 217
    75008 ÷ 131072     		x = 0.572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55040 ÷ 217
    55040 ÷ 131072     		y = 0.419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572265625 × 2 - 1) × π
    0.14453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45405831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419921875 × 2 - 1) × π
    0.16015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.503145698412109
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45405831} λ = 0.45405831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.503145698412109))-π/2
    2×atan(1.65391581653716)-π/2
    2×1.02698252020629-π/2
    2.05396504041258-1.57079632675     		φ = 0.48316871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45405831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.015625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48316871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.683528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75008 KachelY 55040 0.45405831 0.48316871 26.015625 27.683528
    Oben rechts KachelX + 1 75009 KachelY 55040 0.45410625 0.48316871 26.018372 27.683528
    Unten links KachelX 75008 KachelY + 1 55041 0.45405831 0.48312626 26.015625 27.681096
    Unten rechts KachelX + 1 75009 KachelY + 1 55041 0.45410625 0.48312626 26.018372 27.681096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48316871-0.48312626) × R
    4.24500000000272e-05 × 6371000     		dl = 270.448950000173m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48316871-0.48312626) × R
    4.24500000000272e-05 × 6371000     		dr = 270.448950000173m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45405831-0.45410625) × cos(0.48316871) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.885527227905161 × 6371000     		do = 270.462808872905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45405831-0.45410625) × cos(0.48312626) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.885546948845915 × 6371000     		du = 270.468832155828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48316871)-sin(0.48312626))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885527227905161-0.885546948845915)×R²
    abs(0.45410625-0.45405831)×1.97209407533094e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97209407533094e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97209407533094e-05×40589641000000     		ar = 73147.1971800173m²