Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75006 / 55982
↖ ↑ ↗
← N 25.368846°
E 26.010132°		 ← 275.97 m → N 25.368846°
E 26.012879°		 →
↑
275.99 m
↓
↑
275.99 m
↓
N 25.366364°
E 26.010132°		 ← 275.98 m →
76 167 m²		 N 25.366364°
E 26.012879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75006 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55982 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572254180908203 y=0.427112579345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572254180908203 × 217)
    floor (0.572254180908203 × 131072)
    floor (75006.5)     		tx = 75006
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427112579345703 × 217)
    floor (0.427112579345703 × 131072)
    floor (55982.5)     		ty = 55982
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75006 / 55982 ti = "17/75006/55982"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75006/55982.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75006 ÷ 217
    75006 ÷ 131072     		x = 0.572250366210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55982 ÷ 217
    55982 ÷ 131072     		y = 0.427108764648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572250366210938 × 2 - 1) × π
    0.144500732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45396244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427108764648438 × 2 - 1) × π
    0.145782470703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.457989138970016
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45396244} λ = 0.45396244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.457989138970016))-π/2
    2×atan(1.58089183285458)-π/2
    2×1.00678310692206-π/2
    2.01356621384413-1.57079632675     		φ = 0.44276989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45396244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.010132°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44276989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.368846°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75006 KachelY 55982 0.45396244 0.44276989 26.010132 25.368846
    Oben rechts KachelX + 1 75007 KachelY 55982 0.45401038 0.44276989 26.012879 25.368846
    Unten links KachelX 75006 KachelY + 1 55983 0.45396244 0.44272657 26.010132 25.366364
    Unten rechts KachelX + 1 75007 KachelY + 1 55983 0.45401038 0.44272657 26.012879 25.366364
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44276989-0.44272657) × R
    4.33200000000133e-05 × 6371000     		dl = 275.991720000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44276989-0.44272657) × R
    4.33200000000133e-05 × 6371000     		dr = 275.991720000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45396244-0.45401038) × cos(0.44276989) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.903568388507079 × 6371000     		do = 275.973043700201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45396244-0.45401038) × cos(0.44272657) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.903586947848581 × 6371000     		du = 275.978712200813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44276989)-sin(0.44272657))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903568388507079-0.903586947848581)×R²
    abs(0.45401038-0.45396244)×1.85593415015228e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.85593415015228e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.85593415015228e-05×40589641000000     		ar = 76167.0572459469m²