Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75006 / 55566
↖ ↑ ↗
← N 26.396790°
E 26.010132°		 ← 273.58 m → N 26.396790°
E 26.012879°		 →
↑
273.57 m
↓
↑
273.57 m
↓
N 26.394330°
E 26.010132°		 ← 273.59 m →
74 845 m²		 N 26.394330°
E 26.012879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75006 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55566 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572254180908203 y=0.423938751220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572254180908203 × 217)
    floor (0.572254180908203 × 131072)
    floor (75006.5)     		tx = 75006
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423938751220703 × 217)
    floor (0.423938751220703 × 131072)
    floor (55566.5)     		ty = 55566
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75006 / 55566 ti = "17/75006/55566"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75006/55566.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75006 ÷ 217
    75006 ÷ 131072     		x = 0.572250366210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55566 ÷ 217
    55566 ÷ 131072     		y = 0.423934936523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572250366210938 × 2 - 1) × π
    0.144500732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45396244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423934936523438 × 2 - 1) × π
    0.152130126953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.47793088921196
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45396244} λ = 0.45396244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.47793088921196))-π/2
    2×atan(1.61273402221291)-π/2
    2×1.01575361390995-π/2
    2.03150722781989-1.57079632675     		φ = 0.46071090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45396244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.010132°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46071090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.396790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75006 KachelY 55566 0.45396244 0.46071090 26.010132 26.396790
    Oben rechts KachelX + 1 75007 KachelY 55566 0.45401038 0.46071090 26.012879 26.396790
    Unten links KachelX 75006 KachelY + 1 55567 0.45396244 0.46066796 26.010132 26.394330
    Unten rechts KachelX + 1 75007 KachelY + 1 55567 0.45401038 0.46066796 26.012879 26.394330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46071090-0.46066796) × R
    4.29399999999913e-05 × 6371000     		dl = 273.570739999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46071090-0.46066796) × R
    4.29399999999913e-05 × 6371000     		dr = 273.570739999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45396244-0.45401038) × cos(0.46071090) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.895736668419904 × 6371000     		do = 273.581034797104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45396244-0.45401038) × cos(0.46066796) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.895755758073932 × 6371000     		du = 273.586865268812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46071090)-sin(0.46066796))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895736668419904-0.895755758073932)×R²
    abs(0.45401038-0.45396244)×1.90896540284147e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.90896540284147e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.90896540284147e-05×40589641000000     		ar = 74844.5636740874m²