Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75005 / 55549
↖ ↑ ↗
← N 26.438606°
E 26.007385°		 ← 273.48 m → N 26.438606°
E 26.010132°		 →
↑
273.44 m
↓
↑
273.44 m
↓
N 26.436147°
E 26.007385°		 ← 273.49 m →
74 783 m²		 N 26.436147°
E 26.010132°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75005 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572246551513672 y=0.423809051513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572246551513672 × 217)
    floor (0.572246551513672 × 131072)
    floor (75005.5)     		tx = 75005
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423809051513672 × 217)
    floor (0.423809051513672 × 131072)
    floor (55549.5)     		ty = 55549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75005 / 55549 ti = "17/75005/55549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75005/55549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75005 ÷ 217
    75005 ÷ 131072     		x = 0.572242736816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55549 ÷ 217
    55549 ÷ 131072     		y = 0.423805236816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572242736816406 × 2 - 1) × π
    0.144485473632812 × 3.1415926535     		Λ = 0.45391450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423805236816406 × 2 - 1) × π
    0.152389526367188 × 3.1415926535     		Φ = 0.478745816505501
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45391450} λ = 0.45391450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.478745816505501))-π/2
    2×atan(1.6140488188439)-π/2
    2×1.01611852789784-π/2
    2.03223705579569-1.57079632675     		φ = 0.46144073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45391450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.007385°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46144073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.438606°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75005 KachelY 55549 0.45391450 0.46144073 26.007385 26.438606
    Oben rechts KachelX + 1 75006 KachelY 55549 0.45396244 0.46144073 26.010132 26.438606
    Unten links KachelX 75005 KachelY + 1 55550 0.45391450 0.46139781 26.007385 26.436147
    Unten rechts KachelX + 1 75006 KachelY + 1 55550 0.45396244 0.46139781 26.010132 26.436147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46144073-0.46139781) × R
    4.29200000000018e-05 × 6371000     		dl = 273.443320000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46144073-0.46139781) × R
    4.29200000000018e-05 × 6371000     		dr = 273.443320000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45391450-0.45396244) × cos(0.46144073) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.895411958421412 × 6371000     		do = 273.481860005846m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45391450-0.45396244) × cos(0.46139781) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.895431067238052 × 6371000     		du = 273.487696330309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46144073)-sin(0.46139781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895411958421412-0.895431067238052)×R²
    abs(0.45396244-0.45391450)×1.91088166396902e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.91088166396902e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.91088166396902e-05×40589641000000     		ar = 74782.5857231851m²