Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75004 / 56589
↖ ↑ ↗
← N 23.853186°
E 26.004639°		 ← 279.28 m → N 23.853186°
E 26.007385°		 →
↑
279.30 m
↓
↑
279.30 m
↓
N 23.850674°
E 26.004639°		 ← 279.28 m →
78 005 m²		 N 23.850674°
E 26.007385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75004 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572238922119141 y=0.431743621826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572238922119141 × 217)
    floor (0.572238922119141 × 131072)
    floor (75004.5)     		tx = 75004
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431743621826172 × 217)
    floor (0.431743621826172 × 131072)
    floor (56589.5)     		ty = 56589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75004 / 56589 ti = "17/75004/56589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75004/56589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75004 ÷ 217
    75004 ÷ 131072     		x = 0.572235107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56589 ÷ 217
    56589 ÷ 131072     		y = 0.431739807128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572235107421875 × 2 - 1) × π
    0.14447021484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.45386657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431739807128906 × 2 - 1) × π
    0.136520385742188 × 3.1415926535     		Φ = 0.428891440900642
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45386657} λ = 0.45386657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.428891440900642))-π/2
    2×atan(1.53555432695396)-π/2
    2×0.993556480243276-π/2
    1.98711296048655-1.57079632675     		φ = 0.41631663
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45386657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.004639°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41631663 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.853186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75004 KachelY 56589 0.45386657 0.41631663 26.004639 23.853186
    Oben rechts KachelX + 1 75005 KachelY 56589 0.45391450 0.41631663 26.007385 23.853186
    Unten links KachelX 75004 KachelY + 1 56590 0.45386657 0.41627279 26.004639 23.850674
    Unten rechts KachelX + 1 75005 KachelY + 1 56590 0.45391450 0.41627279 26.007385 23.850674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41631663-0.41627279) × R
    4.38400000000172e-05 × 6371000     		dl = 279.30464000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41631663-0.41627279) × R
    4.38400000000172e-05 × 6371000     		dr = 279.30464000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45386657-0.45391450) × cos(0.41631663) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.914584675506344 × 6371000     		do = 279.279433119356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45386657-0.45391450) × cos(0.41627279) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.914602403280143 × 6371000     		du = 279.284846508351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41631663)-sin(0.41627279))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.914584675506344-0.914602403280143)×R²
    abs(0.45391450-0.45386657)×1.77277737988257e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.77277737988257e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.77277737988257e-05×40589641000000     		ar = 78004.7975317131m²