Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75004 / 55556
↖ ↑ ↗
← N 26.421390°
E 26.004639°		 ← 273.47 m → N 26.421390°
E 26.007385°		 →
↑
273.51 m
↓
↑
273.51 m
↓
N 26.418930°
E 26.004639°		 ← 273.47 m →
74 796 m²		 N 26.418930°
E 26.007385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75004 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572238922119141 y=0.423862457275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572238922119141 × 217)
    floor (0.572238922119141 × 131072)
    floor (75004.5)     		tx = 75004
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423862457275391 × 217)
    floor (0.423862457275391 × 131072)
    floor (55556.5)     		ty = 55556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75004 / 55556 ti = "17/75004/55556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75004/55556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75004 ÷ 217
    75004 ÷ 131072     		x = 0.572235107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55556 ÷ 217
    55556 ÷ 131072     		y = 0.423858642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572235107421875 × 2 - 1) × π
    0.14447021484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.45386657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423858642578125 × 2 - 1) × π
    0.15228271484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.47841025820816
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45386657} λ = 0.45386657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.47841025820816))-π/2
    2×atan(1.6135073022307)-π/2
    2×1.01596828522082-π/2
    2.03193657044165-1.57079632675     		φ = 0.46114024
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45386657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.004639°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46114024 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.421390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75004 KachelY 55556 0.45386657 0.46114024 26.004639 26.421390
    Oben rechts KachelX + 1 75005 KachelY 55556 0.45391450 0.46114024 26.007385 26.421390
    Unten links KachelX 75004 KachelY + 1 55557 0.45386657 0.46109731 26.004639 26.418930
    Unten rechts KachelX + 1 75005 KachelY + 1 55557 0.45391450 0.46109731 26.007385 26.418930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46114024-0.46109731) × R
    4.29299999999966e-05 × 6371000     		dl = 273.507029999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46114024-0.46109731) × R
    4.29299999999966e-05 × 6371000     		dr = 273.507029999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45386657-0.45391450) × cos(0.46114024) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.895545707745694 × 6371000     		do = 273.465655274863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45386657-0.45391450) × cos(0.46109731) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.895564809462503 × 6371000     		du = 273.471488213884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46114024)-sin(0.46109731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895545707745694-0.895564809462503)×R²
    abs(0.45391450-0.45386657)×1.91017168091889e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.91017168091889e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.91017168091889e-05×40589641000000     		ar = 74795.5768676552m²