Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75001 / 54665
↖ ↑ ↗
← N 28.591757°
E 25.996399°		 ← 268.18 m → N 28.591757°
E 25.999145°		 →
↑
268.16 m
↓
↑
268.16 m
↓
N 28.589346°
E 25.996399°		 ← 268.19 m →
71 915 m²		 N 28.589346°
E 25.999145°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572216033935547 y=0.417064666748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572216033935547 × 217)
    floor (0.572216033935547 × 131072)
    floor (75001.5)     		tx = 75001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417064666748047 × 217)
    floor (0.417064666748047 × 131072)
    floor (54665.5)     		ty = 54665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75001 / 54665 ti = "17/75001/54665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75001/54665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75001 ÷ 217
    75001 ÷ 131072     		x = 0.572212219238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54665 ÷ 217
    54665 ÷ 131072     		y = 0.417060852050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572212219238281 × 2 - 1) × π
    0.144424438476562 × 3.1415926535     		Λ = 0.45372275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417060852050781 × 2 - 1) × π
    0.165878295898438 × 3.1415926535     		Φ = 0.52112203576963
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45372275} λ = 0.45372275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.52112203576963))-π/2
    2×atan(1.68391600408983)-π/2
    2×1.03490831174288-π/2
    2.06981662348576-1.57079632675     		φ = 0.49902030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45372275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.996399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49902030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.591757°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75001 KachelY 54665 0.45372275 0.49902030 25.996399 28.591757
    Oben rechts KachelX + 1 75002 KachelY 54665 0.45377069 0.49902030 25.999145 28.591757
    Unten links KachelX 75001 KachelY + 1 54666 0.45372275 0.49897821 25.996399 28.589346
    Unten rechts KachelX + 1 75002 KachelY + 1 54666 0.45377069 0.49897821 25.999145 28.589346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49902030-0.49897821) × R
    4.20900000000501e-05 × 6371000     		dl = 268.155390000319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49902030-0.49897821) × R
    4.20900000000501e-05 × 6371000     		dr = 268.155390000319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45372275-0.45377069) × cos(0.49902030) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.878051833858264 × 6371000     		do = 268.179631114342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45372275-0.45377069) × cos(0.49897821) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.878071975904116 × 6371000     		du = 268.185783013601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49902030)-sin(0.49897821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878051833858264-0.878071975904116)×R²
    abs(0.45377069-0.45372275)×2.01420458516566e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.01420458516566e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.01420458516566e-05×40589641000000     		ar = 71914.6384146475m²